การหารลงตัว

การหารลงตัว

การหารลงตัว นิยาม กาหนด เป็นจานวนเต็มใดๆ โดยที่ ≠ หาร ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจานวนเต็ม ที่ทาให้ และเขียนแทน หาร ลงตัว ได้ด้วยสัญลักษณ์ จากนิยาม ถ้า b หาร a ไม่ลงตัว แสดงว่าไม่มีจานวนเต็ม n ที่ทาให้ a=bn และ เขียน แทน หาร a ไม่ลงตัว ได้ด้วยสัญลักษณ์  b†a

บทนิยาม
จํานวนเต็ม n ซึ่งไม่เท่ากับศูนย์จะหารจํานวนเต็ม m ลงตัวก็ต่อเมื่อ มีจํานวนเต็ม c ซึ่ง m = nc
ใช้ n|m แทน “n หาร m ลงตัว” เช่น 4|8
ใช้ n m แทน “n หาร m ไม่ลงตัว” เช่น 4 6

ทฤษฎีบทที่ 1
กําหนด a เป็นจํานวนเต็ม และ a ≠ 0
(1) a|0 (2) 1|a (3) a|a

ทฤษฎีบทที่ 2
ถ้า a|b และ b|c แล้ว a|c

ทฤษฎีบทที่ 3
ถ้า a และ b เป็นจํานวนเต็มบวก ซึ่ง a|b จะได้ a ≤ b

เช่น 3 และ 9 เป็นจํานวนเต็มบวก ซึ่ง 3|9 จะได้ 3 ≤ 9
พิสูจน์ สมมติ a|b
จะได้ว่า มีจํานวนเต็ม c ที่ทําให้ b = ac
เนื่องจาก a,b เป็นจํานวนเต็มบวก จะได้ว่า c เป็นจํานวนเต็มบวก
ดั้งนั้น c ≥1
จาก b = ac
จะได้ b ≥ a

ทฤษฎีบทที่ 4
ถ้า a, b และ c เป็นจํานวนเต็มซึ่ง a|b และ a|c จะได้ a|(bx+cy) โดยที่ x และ y เป็นจํานวน
เต็มใด ๆ

จำนวนประกอบ (Composite Numbers)

นั่นคือ สำหรับจำนวนเต็มบวก c ใดๆ c จะเป็นตัวประกอบก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม m
และ n ที่ต่างจาก c ที่ท าให้ c=mn

จำนวนประกอบ (Composite Numbers)

นั่นคือ ส าหรับจ านวนเต็มบวก c ใดๆ c จะเป็นตัวประกอบก็ต่อเมื่อ มีจ านวนเต็ม m และ n ที่ต่างจาก c ที่ท าให้ c=mn
ตัวอย่างเช่น
จำนวนที่หาร 2 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 2, -2} 2 เป็นจำนวนเฉพาะ
จำนวนที่หาร 3 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 3, -3} 3 เป็นจำนวนเฉพาะ
จำนวนที่หาร 4 ลงตัว ได้แก่ {-4, -2, -1, 1, 2, 4} 4 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ