ความสัมพันธ์
ความสัมพันธ์ คู่อันดับและผลคูณคาร์ทีเซียน คู่อันดับ (Ordered Pairs) คือ สัญลักษณ์ที่แสดงการจับคู่กันระหว่างสิ่งสองสิ่ง
ตัวอย่างของคู่อันดับ
(a, b) อ่านว่า คู่อันดับ เอบี
a เป็นสมาชิกตัวหน้าหรือสมาชิกตัวที่หนึ่งของคู่อันดับ (a, b)
b เป็นสมาชิกตัวหลังหรือสมาชิกตัวที่สองของคู่อันดับ (a, b)
คู่อันดับ (Ordered Pairs)
ผลคูณคาร์ทีเซียน
A x B อ่านว่า เอ คูณ บี
บทนิยาม ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และ B คือเซตของคู่อันดับ (a,b) ทั้งหมด โดยที่ a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B
ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และ B เขียนแทนด้วย A x B
เขียน A x B ในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขได้ดังนี้
A X B = {(a,b)| a∈ A และ b ∈ B}
ตัวอย่างที่ 3 A = {2,4,6} , B = {a,b}
ดังนั้น A x B = {(2,a),(2,b),(4,a),(4,b),(6,a),(6,b)}
n(AxB) = 6
B x A = {(a,2),(a,4),(a,6),(b,2),(b,4),(b,6)}
n(AxB) = 6
A x A = {(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)}
n(AxA) = 9
ข้อสังเกต 1. ถ้า A มีจำนวนสมาชิก n ตัว ; B มีจำนวนสมาชิก m ตัว แล้ว AxB มีจำนวน สมาชิกทั้ง หมดเท่ากับ nm
2. ถ้า n(A) = n ตัว และ n(B) = m ตัว ความสัมพันธ์จาก A ไป B ทั้งหมดเท่ากับ 2nm
ความสัมพันธ์(Relation)
ตัวอย่างที่ 4 กำหนดให้ A = {1,2,3,4} , B = {0,2,4,6}
ให้ r1 แทนความสัมพันธ์ “ น้อยกว่า” จาก A ไป B จะได้
r1 = {(a,b) ∈ AxB | a < b} ……[แบบเงื่อนไข]
r1 = {(1,2),(1,4),(1,6),(2,4),(2,6),(3,4),(3,6),(4,6)} ……… [แบบแจกแจง]
ให้ r2 แทนความสัมพันธ์ “ หารลงตัว “ จาก B ไป A จะได้
r2 = {(b,a) ∈ B x A | b|a }
r2 = {(2,2),(2,4),(4,4)}
ตัวอย่างที่ 5 กำหนด A = {x | x เป็นจำนวนเต็ม}
ฺฺB = {x |x เป็นจำนวนเต็มบวก}
ถ้า r1 = {(x,y) ∈ A x B | y = x2 } เขียน r1 แบบแจกแจงสมาชิกได้ดังนี้
r1 = {(1,1),(-1,1),(2,4),(-2,4),… }
ถ้า r2 = {(x,y) ∈ A x B | y = } เขียน r 2 แบบแจกแจงสมาชิกได้ดังนี้
r2 = {(2,1),(4,2),(6,3),(8,4) ,…}
ตัวอย่างที่ 6 กำหนด A เป็นเซตของจ านวนเต็มบวก และ B เป็นเซตของจ านวนจริง
r1 = {(x, y) ∈ A x B | y = x + 2}
r2 = {(x, y) ∈ A x B | y = 2x}
จงเขียน r1
และ r2
แบบแจกแจงสมาชิก
วิธีท า จาก r1 = {(x, y) ∈ A x B | y = x + 2}
ถ้า x = 1 จะได้ y = 1 + 2 = 3 คู่อันดับคือ (1, 3)
x = 2 จะได้ y = 2 + 2 = 4 คู่อันดับคือ (2, 4)
ท าเช่นนี้เรื่อย ๆ ไป จะได้
r1 = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), . . . }
จาก r2 = {(x, y) ∈ A x B | y = 2x}
ความสัมพันธ์ของ r2
อยู่ภายใต้กฎเกณฑ์ คือ
สมาชิกตัวหลัง = 2 เท่าของสมาชิกตัวหน้า
r2 = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), . . . }
ตัวอย่างที่ 7 จงหาค่า x และ y ที่ท าให้ (x + 2, y + 10) = (6, 12)
วิธีท า จากความหมายการเท่ากันของคู่อันดับ จะได้ว่า
x + 2 = 6 และ y + 10 = 12
x = 4 และ y = 2
โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์
พิจารณาความสัมพันธ์
r1 = {(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)}
r2 = {(x,y) ∈ I+x I+ | y = x }
เซตสมาชิกตัวหน้าของความสัมพันธ์ r 1 คือ {1,2,3,4} เรียกเซตนี้ว่า โดเมนของ r1
เซตสมาชิกตัวหลังของความสัมพันธ์ r 1 คือ {2,3,4,5} เรียกเซตนี้ว่า เรนจ์ของ r1
ส่วน r2 มีโดเมนและเรนจ์เท่ากับจำนวนเต็มบวก
บทนิยามให้ r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B
โดเมนของ r คือเซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย Dr
เรนจ์ของ r คือเซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย R r
ตัวอย่างที่ 6 กำหนดให้ A = {-2,-1,0,1,2} , B = {1,2,3,4}
กำหนด r = {(x,y) ∈ A x B | y = x2+1} จะได้
r = {(-1,2),(0,1),(1,2)}
ดังนั้น D r = {-1,0,1} , R r = {2,1}
ตัวอย่างที่ 7 จงหา โดเมนและเรนจ์ ของ r เมื่อกำหนด r = {(x,y)| ∈ RxR | x+y = 5}
วิธีทำ หาโดเมน จัดรูป y ในเทอม x จะได้ y = 5 – x จะเห็นว่าเมื่อแทนค่า x ด้วยจำนวนจริงใดๆจะหาค่า y ได้เสมอ ดังนั้น โดเมนคือจำนวนจริง หรือ เขียนในรูปเงื่อนไขได้เป็น Dr = { x|x ∈ R }
หาเรนจ์ จัดรูป x ในเทอม y จะได้ x = 5 – y จะเห็นว่าเมื่อแทนค่า y ด้วยจำนวนจริงใดๆจะหาค่า x ได้เสมอ ดังนั้น เรนจ์คือจำนวนจริง หรือ เขียนในรูปเงื่อนไขได้เป็น R r = { x|x ∈ R }
