ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ม.4
ตรรกศาสตร์คืออะไร
“ตรรกศาสตร์” คือระบบวิชาความรู้ที่เกี่ยวข้องกับความคิดและการให้เหตุผล ใช้เป็นเครื่องมือในการเข้าถึงหลักปรัชญาต่างๆ และเป็นพื้นฐานในหลายๆสาขาวิชา และสำหรับวิชาคณิตศาสตร์ น้องๆจะได้เรียนตรรกศาสตร์ในเป็นรูปแบบและกฎเกณฑ์ีการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Logic) ไม่ว่าจะเป็น “และ” “หรือ” “ถ้า..แล้ว” “ก็ต่อเมื่อ” และนิเสธ นอกจากนี้ หลักตรรกศาสตร์จะใช้สำหรับการพิสูจน์ทฤษฎีต่างๆ
หมายเหตุ : ข้อสังเกตจากตาราง
1. p Λ q จะมีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นจริงทั้งคู่
p Λ q จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อ p หรือ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ
อย่างน้อยหนึ่งประพจน์
2. p ∨ q จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จทั้งคู่
p ∨ q จะมีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ p หรือ q มีค่าความจริงเป็นจริง
อย่างน้อยหนึ่งประพจน์
3. p → q จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อ p มีค่าความจริงเป็นจริง และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ
p → q จะมีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ p มีค่าความจริงเป็นเท็จ
p → q จะมีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ q มีค่าความจริงเป็นจริง
4. p ↔ q จะมีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเหมือนกัน
p ↔ q จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อ p และ q มีค่าความจริงต่างกัน
กำหนดให้ p แทน 2 เป็นจ านวนคู่
q แทน 2 เป็นจ านวนเฉพาะ
r แทน 2 เป็นจ านวนอตรรกยะ
จงหาค่าความจริงของประพจน์ในแต่ละข้อต่อไปนี้
(1) p Λ q (2) p Λ r
(3) ~q Λ r (4) p ∨ q
(5) p ∨ r (6) q ∨ ~r
(7) p→ ~q (8) p → r
(9) q → r (10) ~r → p
(11) p ↔ q (12) ~q ↔ r
ตัวอย่าง 2 ก าหนดประพจน์ให้ต่อไปนี้
p แทน Ø เป็นเซตจำกัด
q แทน Ø เป็นสับเซตแท้ของทุกเซต
r แทน P(Ø) = {Ø}
s แทน Ø υ A = Ø
จงหาค่าความจริงของประพจน์ในแต่ละข้อต่อไปนี้
(1) (pΛ q) → r
(2) (p ∨ r) Λ (q ∨ r)
(3) ~s Λ (r ∨ ~q)
(4) (p → ~r) ↔ (~s Λ q)
(5) ~ p → (q → (~ r ↔ s))
(6) (q ∨ ~ p)↔ (r → ~ s)
รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน (Equivalent)
บทนิยาม รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน
คือ รูปแบบของประพจน์สองรูปแบบที่มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี
จากนิยาม รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกันสามารถใช้แทนกันได้
สัญลักษณ์ ของการสมมูลของรูปแบบประพจน์คือ “≡ ” กล่าวคือ
รูปแบบประพจน์ A สมมูลกับรูปแบบประพจน์B เขียนแทนด้วย A B
แต่ถ้ารูปแบบประพจน์ A ไม่สมมูลกับรูปแบบประพจน์ B เขียนแทนด้วย AB
คุณสมบัติของการสมมูลของรูปแบบประพจน์
ก าหนดให้ A, B และ C เป็นรูปแบบของประพจน์
(1) การสะท้อน : A ≡ A
(2) การสมมาตร : ถ้า A≡ B แล้ว B ≡ A
(3) การถ่ายทอด : ถ้า ≡ B และ B ≡ C แล้ว A ≡ C
บทนิยาม รูปแบบประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน
คือ รูปแบบของประพจน์สองรูปแบบที่มีค่าความจริงต่างกันทุกกรณี
จากนิยาม รูปแบบประพจน์ A เป็นนิเสธของ รูปแบบประพจน์ B
ก็ต่อเมื่อ ค่าความจริงของ A และ B ต่างกันทุกกรณี
ก็ต่อเมื่อ ค่าความจริงของ A และ ~B เหมือนกันทุกกรณี
ก็ต่อเมื่อ A ≡ ~B
ดังนั้น A เป็นนิเสธของ B ก็ต่อเมื่อ A สมมูลกับ ~B ……… ***
วิธีการตรวจสอบการสมมูลกันของรูปแบบประพจน์
(1) สร้างตารางค่าความจริง โดยตารางของรูปแบบประพจน์ทั้งสองในตารางเดียวกัน จากนั้นพิจารณา
ว่าแต่ละกรณีมีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณีหรือไม่
ถ้าทุกกรณีมีค่าความจริงเหมือนกัน จะกล่าวว่า รูปแบบประพจน์ทั้งสองนั้นสมมูลกัน
ถ้ามีบางกรณีที่มีค่าความจริงต่างกัน จะกล่าวว่า รูปแบบประพจน์ทั้งสองนั้นไม่สมมูลกัน
(2) ใช้รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน โดยปรับรูปแบบประพจน์หนึ่งให้เหมือนกับอีกรูปแบบประพจน์
หนึ่งโดยใช้รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกันที่ได้ผ่านการพิสูน์แล้วว่าสมมูลกันจริง ซึ่งได้แก่
สมบัติการสมมูล
มีรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันหลายรูปแบบ ดังต่อไปนี้
สมบัติการสลับที่
p ∧ q ≡ q ∧ p
p ∨ q ≡ q ∨ p
p ↔ q ≡ q ↔ p
สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม
p ∧ ( q ∧ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∧ r ≡ p ∧ q ∧ r
p ∨ ( q ∨ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∨ r ≡ p ∨ q ∨ r
p ↔ ( q ↔ r ) ≡ ( p ↔ q ) ↔ r ≡ p ↔ q ↔ r
สมบัติการแจกแจง
p ∧ ( q ∨ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r )
p ∨ ( q ∧ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r )
p → ( q ∨ r ) ≡ ( p → q ) ∨ ( p → r )
p → ( q ∧ r ) ≡ ( p → q ) ∧ ( p → r )
( p ∨ q ) → r ≡ ( p → r ) ∧ ( p → r )
( p ∧ q ) → r ≡ ( p → r ) ∨ ( p → r )
สมบัติของ “ถ้า..แล้ว..” ( → )
p → q ≡ ~q → ~p ≡ ~p ∨ q
สมบัติของ “ก็ต่อเมื่อ” ( ↔ )
p ↔ q ≡ ( p → q ) ∧ (q → p )
สมบัติของนิเสธ ( ~ )
~(~p) ≡ p
~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
~(p → q) ≡ p ∧ ~q
~(p ↔ q) ≡ ~p ↔ q ≡ p ↔ ~q
สมบัติอื่นๆ
p ∧ p ≡ p
p ∧ T ≡ p
p ∧ F ≡ F
p ∧ ~p ≡ F
p ∨ p ≡ p
p ∨ T ≡ T
p ∨ F ≡ p
p ∨ ~p ≡ T
p → F ≡ ~p
F → p ≡ T
p → T ≡ T
T → P ≡ P
P ↔ P ≡ T
P ↔ ∼P ≡ F
