สับเซตและเพาเวอร์เซต
บทความนี้จะเป็นเนื้อหาเกี่ยวกับสับเซต เพาเวอร์เซต
ตัวอย่าง สับเซตและพาวเวอร์เซตของ {-1,0,1}
สับเซต (subset) = { } , {-1} , {0} , {1} , {-1,0} , {-1,1} , {0,1} , {-1,0,1}
พาวเวอร์เซต(powerset) = { { } , {-1} , {0} , {1} , {-1,0} , {-1,1} , {0,1} , {-1,0,1} }
สับเซต ( Subset )
นิยาม เซต A เป็นสับเซต ของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของ เซต A เป็นสมาชิกของเซต B
สัญลักษณ์ เซต A เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A ⊂B
เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A⊄ B
หมายเหตุ เซต A ไม่เป็นสับเซต ของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกอย่างน้อย 1 ตัวของ
เซต A ไม่เป็นสมาชิกของเซต B
ตัวอย่างที่ 10 กำหนดให้
A = { 1 , 2 }
B = { 2 , 3 }
C = { 1 , 2 , 3 }
D = { 1 , 2 , 3 , 4 }
จงตรวจสอบดูว่า เซตใดเป็นสับเซตของเซตใด
วิธีทำ A⊄ B , A ⊂ C , A⊂ D
B⊄ A , B⊂ C , B ⊂ D
C ⊄A , C ⊄ B , C ⊂ D
D ⊄ A , D ⊄ B , D ⊄ C
สมบัติของสับเซต
1) A ⊂ A (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง)
2) A ⊂ U (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์)
3) ø ⊂ A (เซตว่างเป็นสับเซตของทุกๆ เซต)
4) ถ้า A ⊂ ø แล้ว A = ø
5) ถ้า A ⊂ B และ B ⊂ C แล้ว A ⊂ C (สมบัติการถ่ายทอด)
6) A = B ก็ต่อเมื่อ A ⊂ B และ B ⊂ A
7) ถ้า A มีจำนวนสมาชิก n ตัว สับเซตของเซตจะมีทั้งสิ้น 2n สับเซต
เพาว์เวอร์เซต ( power set )
ถ้า A เป็นเพาว์เวอร์เซต (Power Set) ของเซต A คือ เซตที่มีสมาชิกประกอบไปด้วยสับเซตของ A ทั้งหมด
เพาเวอร์เซตของ A เขียนแทนด้วย P(A) = {สับเซตทั้งหมดของA}
เช่น ถ้า A={1,2} สับเซตของ A คือ ∅,{1},{2},{1,2}หรือ A
ดังนั้น P(A)={∅,{1},{2},A}
คุณสมบัติของเพาว์เวอร์เซต
กำหนดให้ A และ B เป็นเซตใดๆ
1. ∅∈P(A) เพราะ ∅⊂A เสมอ
2. ∅⊂P(A) เพราะเซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต แล้ว P(A) ก็เป็นเซตเช่นกัน
3. A∈P(A) เพราะ A⊂Aเสมอ
4. ถ้า A เป็นเซตจำกัด และ n(A) คือจำนวนสมาชิกของ A แล้วP(A)จะมีสมาชิก2n(A) ตัว (เท่ากับจำนวนสับเซตของ A)
5. A⊂B ก็ต่อเมื่อ P(A)⊂P(B)
6. P(A)∩P(B)=P(A∩B)
