วงรี (Ellipse) คณิตศาสตร์ ม.4

วงรี (Ellipse)

วงรี จะประกอบไปด้วย

1) แกนเอกคือแกนที่ยาวที่สุด และแกนโทคือแกนที่สั้นกว่า

2) จุดยอด

3) จุดโฟกัส ซึ่งจะแตกต่างกันไปแล้วแต่ว่าแกนใดเป็นแกนเอก

4) ความเยื้องศูนย์กลาง (eccentricity)

เส้นตรง

เส้นตรง มีสมการรูปแบบทั่วไปคือ Ax + By + C = 0 และสมการรูปแบบมาตรฐานของเส้นตรงจะเขียนอยู่ในรูป y = mx + C ซึ่งจะอยู่ในหัวข้อ “สมการเส้นตรง” เส้นตรงหนึ่งเส้นประกอบไปด้วยจุดหลายจุด ซึ่งจุดเหล่านี้จะทำให้เราสามารถหาความชันได้ และเมื่อเราทราบความชันก็จะสามารถหาสมการเส้นตรงได้นั่นเอง

ความชันของเส้นตรง

ความชันของเส้นตรง ส่วนใหญ่นิยมใช้ m แทนความชัน การหาความชันนั้นเราจะต้องรู้จุดบนเส้นตรงอย่างน้อย 2 จุด

สมมติ ให้สองจุดนั้นเป็น (x₁,y₁) และ (x₂,y₂)   เป็นจุดบนเส้นตรง L  ดังรูป

จะได้ว่า ความชันของเส้นตรง L หาได้จาก

ความชันของเส้นตรง (Slope : m)

m =  (y_{2  –}  y₁) / (x_{2  –}  x₁)

ความชันของเส้นตรง (Slope : m)

คือ อัตราส่วนระหว่างค่า y ที่เปลี่ยนแปลงไป ต่อค่า x ที่เปลี่ยนแปลงไป ใช้ สัญลักษณ์ m โดยค่า m อาจะเป็นบวก หรือลบ หรือเป็นศูนย์ก็ได้

• ถ้า m>0 แสดงว่า เส้นตรงนี้เฉียงขึ้นทางขวา
• ถ้า m<0 แสดงว่า เส้นตรงนี้เฉียงลงทางขวา
• ถ้า m=0 แสดงว่า เป็นเส้นนอนขนานแกน x
• ส่วนเส้นตั้งขนานกับแกน y นั้น m หาค่าไม่ได้ (เป็นอนันต์)

วงรี ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด

จากกราฟ
สมการรูปแบบมาตรฐาน:    (x² /a²)+ (y³ /b²)=1
จุดยอด : (a, 0) และ (-a, 0)
แกนเอก : แกน X ยาว 2a
แกนโท : ยาว 2b
โฟกัส : (c, 0) และ (-c, 0)

ตัวอย่างที่ 2 วงรีรูปหนึ่งมีจุดยอดอยู่ที่ (-4, 0), (4, 0) และโฟกัสอยู่ที่ (-3, 0), (3, 0) จงหาสมการและเขียนวงรี

วิธีทำ จากสิ่งที่กำหนดให้จะได้ว่า แกนเอกของวงรีอยู่บนแกน X และเมื่อเทียบกับ

รูปแบบมาตรฐานของสมการวงรี (x² /a²)+ (y³ /b²)=1จะได้ว่า a = 4, c = 3

จาก c² = a² – b² จะได้ 3² = 4² – b²

b² = 4² – 3² = 16 – 9 = 7

ดังนั้น สมการของวงรี คือ

(x³ /16)+ (y³ /7)=1