ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (Exponential Function)

จากการศึกษาในเรื่องเลขยกกำลัง  ซึ่งท้ายที่สุดเราได้สนใจเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนจริงบวก  และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆ

แต่ได้มีนักคณิตศาสตร์ได้สังเกตเห็นว่า  ถ้าเลขยกกำลังมีฐานเป็น 1  และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆ ดังนี้

ถ้ากำหนดให้      a = 1  และ x เป็นจำนวนจริงใดแล้วจะได้

a^x         =          1^x         =          1

 

          ข้อสังเกต

1. ไม่ว่า x จะเป็นจำนวนจริงใด ๆ ก็ตาม 1^x ก็ยังคงเท่ากับ 1 เสมอ ดังนั้นจึงไม่น่าสนใจ  เนื่องจาก  เราทราบว่ามันเป็นอะไรแน่ ๆ อยู่แล้ว
2. เรายังไม่ทราบนะว่า เลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนจริงบวกยกเว้น 1  และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆ แสดงว่าเราจะต้องสนใจศึกษาเลขยกกำลังลักษณะนี้เป็นพิเศษ  ซึ่งจะกล่าวถึงใน  เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลดังนี้

ข้อกำหนด  (ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล)

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ f = { (x, y) Î R ´ R⁺ / y = a^x , a > 0, a ¹ 1 }

ข้อตกลง  ในหนังสือคณิตศาสตร์บางเล่มให้ข้อกำหนดของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล  เป็นฟังก์ชันที่อยู่ในรูป f(x) = ka^x  เมื่อ k เป็นค่าคงตัวที่ไม่ใช่ 0 และ a เป็นจำนวนจริงบวกที่ไม่เป็น 1 แต่ในหลักสูตรมัธยมศึกษาตอนปลายนี้  จะถือว่าฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจะอยู่ในรูป f(x) = a^x  เมื่อ a เป็น จำนวนจริงบวกที่ไม่เป็น 1 เท่านั้น

ข้อสังเกต  จากข้อกำหนดฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

1. f(x) = 1^x เป็นฟังก์ชันคงตัวเนื่องจาก 1^x = 1 ดังนั้นในข้อกำหนดฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล  จึงไม่สนใจ  ฐาน (a) ที่เป็น 1
2. f(x) = 1^x ไม่เป็นฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล  เนื่องจาก  f(x) = 1^x เป็นฟังก์ชันคงตัว
3. จากเงื่อนไขที่ว่า y = a^x, a > 0, a ¹ 1  ทำให้เราทราบได้เลยว่าฐาน (a) มีอยู่ 2 ลักษณะ คือ  0 < a < 1 กับ a > 1
4. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจะมีอยู่ 2 ชนิด โดยขึ้นอยู่กับลักษณะของฐาน (a)  ดังนี้

ชนิดที่ 1     y = a^x, 0 < a < 1

ชนิดที่ 2     y = a^x, a > 1

กราฟของฟังก์ชัน  y = ax, 0 < a < 1

เรื่องการแก้อสมการเอกซ์โพเนนเชียลนั้น มีสิ่งที่ต้องคำนึงอยู่แค่หนึ่งสิ่งที่สำคัญคือ กรณีฐานของเลขยกกำลังนั้นมีค่ามากกว่าศูนย์แต่น้อยกว่าหนึ่ง นอกนั้นไม่มีอะไรเลยครับ  การแก้อสมการในกรณีที่เลขฐานมากกว่าศูนย์แต่น้อยกว่าหนึ่ง ต้องมีการสลับเครื่องหมายเป็นเครื่องหมายตรงกันข้าม ดังทฤษฏีต่อไปนี้

กรณีที่ฐาน  0<a<10<a<1

ถ้า  ax>ayax>ay    แล้ว   x<yx<y       ต้องสลับเครื่องหมายเป็นเครื่องหมายตรงกันข้าม

แต่ถ้า

กรณีที่ฐาน  a>1a>1

ถ้า  ax>ayax>ay   แล้ว    x>yx>y          ฐานมากว่าหนึ่งไม่ต้องสลับเครื่องหมายนะครับ

เป็นดูตัวอย่างการแก้อสมการเอ็กซ์โพเนนเชียลกันเลย

ตัวอย่างที่ 1  จงแก้อสมการเอ็กซ์โพเนนเชียลต่อไปนี้

1)    4x+1>2x−34x+1>2x−3

วิธีทำ ขั้นตอนแรกต้องทำฐานให้เท่ากันก่อนครับ

4x+1>2x−34x+1>2x−3

22(x+1)>2x−322(x+1)>2x−3

22x+2>2x−322x+2>2x−3      จะเห็นว่าฐานเท่ากันแล้ว

ดังนั้นจะได้ เอาเลขชี้กำลังมาแก้อสมการต่อนะครับ ไม่ต้องสลับเครื่องหมายเพราะฐานคือ 2 มากกว่า 1

2x+2>x−32x+2>x−3

2x>x−3−22x>x−3−2

2x>x−52x>x−5

2x−x>−52x−x>−5

x>−5

การแก้อสมการเอกซ์โพเนนเชียล

1. ถ้า 0 < a < 1 (ฟังก์ชันลด) แล้ว

สังเกตได้ว่า : สําหรับ 0 < a < 1 เมื่อปลดฐานหรือเติมฐาน เปลี่ยนเครื่องหมายอสมการ

2. ถ้า a > 1(ฟังก์ชันเพิ่ม)  แล้ว

1. a^x1 > a^x2             ก็ต่อเมื่อ                 x₁ < x₂

2. a^x1 < a^x2             ก็ต่อเมื่อ                 x₁ > x₂

2. ถ้า a > 1 (ฟังก์ชันเพิ่ม) แล้ว

2. ถ้า a > 1(ฟังก์ชันเพิ่ม)  แล้ว

1. a^x1 > a^x2             ก็ต่อเมื่อ                 x₁ > x₂

2. a^x1 < a^x2             ก็ต่อเมื่อ                 x₁ < x₂

จุดสังเกต : สําหรับ a > 1 เมื่อปลดฐาน หรือเติมฐาน คงเดิมเครื่องหมายอสมการ

ฟังก์ชันลอการิทึม คืออะไร

1. ฟังก์ชันอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลสามารถเขียนใหม่ได้เป็น { (x, y) ∈ R⁺ ×R / y = log_ax, a > 0, a ≠ 1 }
2. ฟังก์ชันอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ถูกเรียกใหม่ว่า ฟังก์ชันลอการิทึม
3. log_ax อ่านว่า “ลอการิทึมเอกซ์ฐานเอ” หรือ “ล็อกเอกซ์ฐานเอ”