ตรรกศาสตร์เบื้องต้น
จำนวนจริง (Real Number)
ระบบจำนวนเลขเท่าที่มนุษย์คิดค้นพบในขณะนี้ประกอบด้วยเลขจำนวน 2 ระบบ คือ
1. ระบบจำนวนจริง (Real Number System)
2. ระบบจำนวนเชิงซ้อนประเภทจินตภาพ (Imaginary Number System)
สรุปเป็นแผนภูมิได้ดังนี้
จำนวนตรรกยะ (Rational Number) คือ จำนวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน a/b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มโดยที่ b ¹ 0 จำนวนตรรกยะ จำแนกได้เป็น 3 ประเภทใหญ่ ๆ คือ
1. จำนวนเต็ม (Integer)
2. เศษส่วน (Fraction) >>> จำนวนที่เขียนในรูปของเศษส่วนได้ เช่น 1/2, 2/3, 1/3, 50/49, 1, -1, 0
3. ทศนิยม (Repeating decimal) >>> เช่น 3.33333… เท่ากับ 10/3 หรือ 0.142857142857142857142857142857… เท่ากับ 1/7
จำนวนอตรรกยะ (irrational Number) คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน a/b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มโดยที่ b ¹ 0 หรือจำนวนอตรรกยะคือ จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะนั่นเอง จำนวนอตรรกยะ จำแนกได้เป็น 2 ประเภทใหญ่ใหญ่คือ
1. จำนวนติดกรณ์บางจำนวน เช่น เป็นต้น
2. จำนวนทศนิยมไม่ซ้ำเช่น 5.18118168473465
หมายเหตุ p ซึ่งประมาณได้ด้วย 22/7 แต่จริงๆ แล้ว p เป็นเลขอตรรกยะ
จำนวนเต็ม จากจำนวนที่มนุษย์ค้นพบได้เป็นครั้งแรกก็คือ จำนวนนับ นั่นก็คือ 1 2 3 4 5 ก็ถือได้ว่าเป็นจำนวนนับ (ในที่นี้จะหมายถึงเซตของจำนวนนับ) แทนสัญลักษณ์ไว้ด้วย หากแต่ก็มีชื่อเรียกจำนวนนับดังข้างต้นได้อีกอย่างว่า “เซตของจำนวนเต็มบวก” ซึ่งแทนด้วย นั่นก็คือ จำนวนดังกล่าวก็ถือได้ว่าเป็นจำนวนเต็มด้วยเช่นกัน แทนสัญลักษณ์จำนวนเต็มด้วย ซึ่งจำนวนเต็มนี้ อาจจะเป็นจำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ ก็ได้ แล้วแต่ว่าจะกำหนดมาให้
ประพจน์ (Propositions หรือ Statements)
ประพจน์ (Proposition ,Statement) หมายถึง ประโยชน์หรือข้อความ ที่มีค่าความจริงเป็นจริง หรือเป็นเท็จเพียงค่าใดค่าหนึ่งเท่านั้น ซึ่งอาจอยู่ในประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธก็ได้
ตัวอย่างประโยคหรือข้อความที่เป็นประพจน์
ดาวพุธเป็นดาวเคราะห์ (จริง)
จังหวัดเชียงใหม่ไม่อยู่ทางภาคใต้ของประเทศไทย (จริง)
9 ≠ 3 (จริง)
17 + 8 ≠ 25 (เท็จ)
π เป็นจำนวนตรรกยะ (เท็จ)
เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต (เท็จ)
ในตรรกศาสตร์การเป็น จริง หรือ เท็จ ของแต่ละพจน์เรียกว่า ค่าความจริง (truth – value) ของประพจน์ เช่น 3 = 1+2 เป็นประพจน์ที่เป็นจริง
การเชื่อมประพจน์
โดยปกติเมื่อกล่าวถึงข้อความหรือประโยคนั้นมักจะมีกริยามากกว่าหนึ่งตัว แสดงว่าได้นำประโยคมาเชื่อมกัน
มากกว่าหนึ่งประโยค ดังนั้นถ้านำประพจน์มาเชื่อมกัน ก็จะได้ประพจน์ใหม่ ซึ่งสามารถบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเป็น
เท็จ ตัวเชื่อมประพจน์มีอยู่ 5 ตัว และตัวเชื่อมที่ใช้กันมากในตรรกศาสตร์คือ และ หรือ ถ้า…แล้ว ก็ต่อเมื่อ ไม่
1.ตัวเชื่อมประพจน์ “และ”
2.ตัวเชื่อมประพจน์ “หรือ”
การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ “หรือ” สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ∨q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T)
3.ตัวเชื่อมประพจน์ “ถ้า…แล้ว”
การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ “ถ้า…แล้ว” สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p → q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p เป็นจริง (T) และ q เป็นเท็จ (F) นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T)
4.ตัวเชื่อมประพจน์ “ก็ต่อเมื่อ”
การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ “ก็ต่อเมื่อ” สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ⇔ q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงกัน และจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงข้ามกัน
5.นิเสธของประพจน์ “ไม่”
นิเสธของประพจน์ใดๆ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามกับประพจน์นั้นๆ และสามารถเขียนแทนนิเสธของ p ได้ด้วย ~p
การหาค่าความจริงของประพจน์
ตารางค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อมแบบต่างๆ ที่กล่าวมาแล้วมีไว้เพื่อช่วยในการหาค่าว่าประพจน์ใดเป็นจริงหรือเป็นเท็จ เมื่อทราบค่าความจริงของประพจน์ย่อย ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าความจริงของประโยค “เชียงใหม่และธนบุรีเคยเป็นเมืองหลวงของไทย”
| วิธีทำ | ให้ | p | แทน | เชียงใหม่เคยเป็นเมืองหลวงของไทย |
| ให้ | q | แทน | ธนบุรีเคยเป็นเมืองหลวงของไทย | |
| ประโยคที่กำหนดให้อยู่ในรูป p Λ q | ||||
| เนื่องจาก p เป็นเท็จ และ q เป็นจริง จะได้ p Λ q เป็นเท็จ | ||||
| ดังนั้น ประโยค “เชียงใหม่และธนบุรีเคยเป็นเมืองหลวงของไทย” มีค่าความจริงเป็นเท็จ | ||||
ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ a, b และ c เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็น จริง จริง และเท็จ ตามลำดับ จงหาค่าความจริงของประพจน์ (a Λ b) c
| วิธีทำ | จาก a เป็นจริง และ b เป็นจริง จะได้ a Λ b เป็นจริง |
| จาก a Λ b เป็นจริง และ c เป็นเท็จ | |
| จะได้ (a Λ b) c เป็นจริง |
ตัวอย่างที่ 3 จงหาค่าความจริงของประพจน์ ~(a → ~b) เมื่อ a, b เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง
| วิธีทำ | จาก b เป็นจริง จะได้ ~b เป็นเท็จ |
| จาก a เป็นจริง และ ~b เป็นเท็จ จะได้ a → ~b เป็นเท็จ | |
| ดังนั้น ~(a → ~b) มีค่าความจริงเป็นจริง |
ในการหาค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อมอาจทำได้รวดเร็วขึ้นโดยใช้แผนภาพดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 4 กำหนดให้ p, q, r และ s เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็น จริง เท็จ เท็จ และจริง ตามลำดับ จงหาค่าความจริงของประพจน์ [(p Λ q) r] → (p s)
ดังนั้น ประพจน์ [(p Λ q) r] → (p s) มีค่าความจริงเป็นจริง
| หมายเหตุ | การหาค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อมตั้งแต่สองตัวขึ้นไป จะหาค่าความจริงของประพจน์ย่อยในวงเล็บก่อน แต่ถ้า |
| ประพจน์นั้นไม่ได้ใส่วงเล็บให้หาค่าความจริงของตัวเชื่อม “~” ก่อนแล้วจึงหาค่าความจริงของตัวเชื่อม “” , “Λ” จากนั้น | |
| จึงหาค่าความจริงของตัวเชื่อม “→” และลำดับสุดท้ายเป็นการหาค่าความจริงของตัวเชื่อม “↔” |
ประพจน์ที่สมมูลกัน
จากตาราง จะเห็นว่า p→q และ ∼q→∼p มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี ดังนั้นเราจะได้ว่า p→q และ ∼q→∼p เป็นประพจน์ที่สมมูลกัน เขียนแทนด้วย p→q ≡ ∼q→∼p
หลังจากที่เรารู้แล้วว่าประพจน์ที่สมมูลกันคืออะไร ต่อไปเรามาดูตัวอย่างของประพจน์ที่สมมูลกันค่ะ (ควรจำให้ได้ แล้วจะเป็นประโยชน์มากๆ)
1.) p∧p≡ p
2.) p∨p≡p
3.) (p∨q)∨r ≡ p∨(q∨r) (เปลี่ยนกลุ่ม)
4.) (p∧q)∧r ≡ p∧(q∧r) (เปลี่ยนกลุ่ม)
5.) p∨q ≡ q∨p (สลับที่)
6.) p∧q ≡ p∧q (สลับที่)
7.) p∨(q∧r) ≡ (p∨q)∧(p∨r) (แจกแจง)
8.) p∧(q∨r) ≡ (p∧q)∨(p∧r) (แจกแจง)
9.) ∼(p∨q) ≡ ∼p∧∼q
10.) ∼(p∧q) ≡ ∼p∨∼q
11.) ∼p→q ≡ p∨∼q **
12.) p→q ≡ ∼p∨q **
13.) p→q ≡ ∼q→∼p
14.) p↔q ≡ (p→q)∧(p→q) ≡ (∼p∨q)∧(∼p∨q)
