ฟังก์ชันลอการิทึม-คณิตศาสตร์ ม.5

ฟังก์ชันลอการิทึม

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม ออกข้อสอบหลายข้อ นำไปใช้ประยุกต์ได้กับข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย TCAS ทั้งใน PAT1 และ 9 วิชาสามัญ

• ฟังก์ชันลอการิทึม
  • กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม และการแปลงกราฟ
  • สมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม
  • การเปรียบเทียบค่าลอการิทึม
  • แมนทิสซา และคาแรกเทอริสติก
  • สมการลอการิทึม
  • อสมการลอการิทึม

กราฟฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึมจะเห็นว่า

1.) เมื่อ a > 1 จะเป็นฟังก์ชันเพิ่ม

2.) เมื่อ 0 < a < 1 จะเป็นฟังก์ชันลด

3.) กราฟของทั้ง 2 กรณีจะไม่ตัดแกน y

4.) ค่า x จะเป็นบวกเสมอ แต่ค่า y เป็นได้ทั้งบวกและลบ

 

กฎของเลขยกกำลัง
ถ้า a,b เป็นจำนวนจริงใดๆจะได้
1. a^m+ aⁿ = a^m+n
2. (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
3. (a^m)ⁿ = a^mn
f = { (x,y) | R x R⁺ | y = a^x ; a > 0 และ a น 1 } เรียกว่า ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล จาก y = a^x , a > 0, a น 1 จะได้ x ฮ R และ y ฮ R⁺ นั่นคือ โดเมนเป็นเซตของจำนวนจริง และเรนจ์เป็นเซตของจำนวนจริงบวก

1. ถ้า a > 1 ฟังก์ชันเอกโพเนนเชียลเป็นฟังก์ชันเพิ่ม
2. ถ้า 0 < a < 1 ฟังก์ชันเอกโพเนนเชียลเป็นฟังก์ชันลด
3. สมบัติที่สำคัญคือ e^x = e^y ก็ต่อเมื่อ x = y ส่วนสมบัติอื่นๆมีเช่นเดียวกับเลขยกกำลัง

      การแก้สมการเอ็กโปเนนเชียล  
การแก้สมการเอกโพเนนเชียลที่มักพบอยู่บ่อยๆมี 4 วิธี คือ
1. ทำให้ฐานเท่ากัน คือทำให้ a^p(x) = a^q(x) แล้วสรุปว่า p(x) = q(x)
2. ทำให้กำลังเหมือนกันแต่ฐานต่างกัน คือ a^p(x) = b^q(x) แล้วสรุปได้ว่า p(x) = 0
3.ทำให้เป็นเลขจำนวนเดียวยกกำลังแล้วมีค่าเท่ากับ 1 คือทำเป็น (abc)^u = 1 แล้วสรุปว่า u = 0

 การแก้อสมการเอกซ์โพเนนเชียล

กลุ่มที่ 1 ฐานเหมือนกันเลขชี้กำลังต่างกัน

1. เมื่อ	a  > 1	จะได้ว่า อสมการของเลขชี้กำลังจะคล้อยตามอสมการของเลขยกกำลัง
เช่น	ax > ay	จะได้ว่า x > y
	ax < ay	จะได้ว่า x < y
2. เมื่อ	0 < a < 1	จะได้ว่า อสมการของเลขชี้กำลังจะตรงข้ามกับอสมการของเลขชี้กำลัง
เช่น	ax > ay	จะได้ว่า x < y
	ax < ay	จะได้ว่า x > y

กลุ่มที่ 2 ฐานต่างกันเลขชี้กำลังเหมือนกัน

1.	ถ้าอสมการของเลขยกกำลังคล้อยตามอสมการของเลขฐานจะได้ว่าเลขชี้กำลัง < 0
	เช่น a < b , ax < bx จะได้ว่า x > 0
	a > b , ax > bx จะได้ว่า x > 0
2.	ถ้าอสมการของเลขยกกำลังตรงข้ามกับอสมการของเลขฐานจะได้ว่าเลขชี้กำลัง < 0
	เช่น a > b , ax < bx จะได้ว่า x < 0
	a < b , ax > bx จะได้ว่า x < 0
	y = loga x มีความหมายว่า x = ay
	ถ้า a = 10 เรียกว่า ลอการิทึมสามัญ เขียนแทนด้วย log x ถ้า a = e ป 2.71828 เรียกว่า ลอการิทึมธรรมชาติ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ln x ( คือ loge x ) โดเมนของฟังก์ชันลอการิทึมเป็นเซตของจำนวนจริงบวก เรนจ์ของฟังก์ชันลอการิทึมเป็นเซตของจำนวนจริง

สมบัติที่สำคัญ
1. 2.	loga x loga xy	= =	loga y ก็ต่อเมื่อ x = y loga x + loga y
3. 4.	loga(x/y) loga xy	= =	loga x + loga y yloga x + loga
5.	logaa	=	1
6.	loga1	=	0
7.	ln 1	=	log 1 = 0
8.	ln e	=	1, log 10 =1
9.	eln x	=	x , 10log x = x
10.	ln ex	=	x , log 10x = x
13.	ax	=	ex ln a

      การหาค่า log x เขียน x = A ด 10ⁿ เมื่อ 1 < A < 10 หาค่าของ log A จากตาราง แล้วจะได้
log x = n + log A