ตรรกศาสตร์เบื้องต้น
อย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น
ตัวอย่าง
ประโยคที่เป็นประพจน์
ดาวอังคารเป็นดาวเคราะห์ (จริง)
จังหวัดลพบุรีไม่อยู่ทางภาคใต้ของประเทศไทย (จริง)
5 ≠ 8 (จริง)
19 + 4 ≠ 23 (เท็จ)
π เป็นจำนวนตรรกยะ (เท็จ)
ประโยคที่ไม่เป็นประพจน์
ได้แก่ ข้อความที่อยู่ในรูปของ คำถาม คำสั่ง คำขอร้อง คำอุทาน คำอ้อนวอน คำแสดงความปรารถนา สุภาษิตคำพังเพย ประโยคเปิด เพราะข้อความดังกล่าวไม่สามารถบอกค่าความจริงได้
ตัวอย่างประโยคที่ไม่เป็นประพจน์
คำถาม เช่น 3 หารด้วย 2 มีค่าเท่าไร
คำสั่ง เช่น จงยืนขึ้น
คำขอร้อง เช่น ช่วยกันรักษาความสะอาด
คำอ้อนวอน เช่น โปรดเมตตาด้วยเถิด
คำแสดงความปรารถนา เช่น อยากเห็นหน้าเธออีกสักครั้ง
คำอุทาน เช่น โอ้ย
สุภาษิตคำพังเพย เช่น วัวหายล้อมคอก
ประโยคเปิด เช่น เขาเป็นนักกีฬา
การเชื่อมประพจน์
ถ้าให้ p และ q เป็นประพจน์ เมื่อนำประพจน์มาเชื่อมกันด้วยตัวเชื่อมแล้ว เราเรัยกประพจน์ใหม่ว่า ประพจน์เชิงประกอบ ซึ่งตัวเชื่อมที่ใช้จะมี 5 ตัว คือ
1) ตัวเชื่อม และ ใช้สัญลักษณ์ คือ ” ∧ “
2) ตัวเชื่อม หรือ ใช้สัญลักษณ์ คือ ” ∨ “
3) ตัวเชื่อม ถ้า… แล้ว… ใช้สัญลักษณ์ คือ ” → “
4) ตัวเชื่อม ก็ต่อเมื่อ ใช้สัญลักษณ์ คือ ” ↔ ”
5) ตัวเชื่อม นิเสธ ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย ” ~ “
ประพจน์ที่สมมูลกัน
ประพจน์สองประพจน์ใด จะสมมูลกันก็ต่อเมื่อประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี ใช้สัญลักษณ์ ≡ แทนคำว่า สมมูล ประพจน์ที่สมมูลกันจะสามารถใช้แทนกันได้ เนื่องจากมีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี
การตรวจสอบว่าประพจน์สมมูลกันหรือไม่ ทำได้ 2 วิธี ดังนี้
4.1 ใช้ตารางแสดงค่าความจริง
ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่าประพจน์ต่อไปนี้สมมูลกันหรือไม่
1. p → q กับ ~p ∨ q
| p | q | p→ q | p~ | ~p∨q |
| T | T | T | F | T |
| T | F | F | F | F |
| F | T | T | T | T |
| F | F | T | T | T |
จะเห็นว่า ค่าความจริงของ p → q กับ ~p ∨ q ตรงกันกรณีต่อกรณี
ดังนั้น p → q สมมูลกับ ~p ∨ q
2. ~p ∧ q กับ p → q
| p | q | p→ q | ~p∧ q | ~p |
| T | T | T | F | F |
| T | F | F | F | F |
| F | T | T | T | T |
| F | F | T | F | T |
เป็นจริง ใช้สัญลักษณ์ T
เป็นเท็จ ใช้สัญลักษณ์ F
จะเห็นว่า ค่าความจริงของ ~p ∧ q กับ p → q มีบางกรณีต่างกัน
ดังนั้น ~p ∧ q ไม่สมมูลกับ p → q
| p | q | p∧q | p∨q | p→q | p↔q |
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | F |
| F | T | F | T | T | F |
| F | F | F | F | T | T |
เป็นจริง ใช้สัญลักษณ์ T
เป็นเท็จ ใช้สัญลักษณ์ F
ตรวจสอบสัจนิรันดร์ โดย การสร้างตารางค่าความจริง
ประพจน์ (p∧q)→(p∨q)(p∧q)→(p∨q) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
ใช้หลักการเดียวกันกับข้อข้างบนสร้างตารางค่าความจริง จะได้ตารางดังนี้
| p | q | (p∧q) | (p∨q ) | (p∧q )→(p∨q ) |
| T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | T |
| F | T | F | T | T |
| F | T | F | F | T |
จากตารางค่าความจริงที่สร้างขึ้น จะเห็นว่า ทุกกรณีที่เป็นไปได้ มีค่าความจริงเป็นจริงทั้งหมด ดังนั้นประพจน์ที่กำหนดให้เป็นสัจนิรันดร์ ตอบ ประพจน์ที่กำหนดให้เป็นสัจนิรันดร์
หลักการการสมมุติให้เป็นเท็จ คือ การหาว่าเป็นไปได้มั้ยที่ประพจน์นั้นจะเป็นเท็จ ถ้ามีแม้แต่กรณีเดียวได้ค่าความจริงเป็นเท็จขึ้นมา แสดงว่าไม่เป็นสัจนิรันดร์ แต่ถ้า
การตรวจสอบสัจนิรันดร์โดยการสมมุติให้เป็นเท็จ
ประพจน์ [∼(p→q)]→[(∼p↔q)][∼(p→q)]→[(∼p↔q)] เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
วิธีทำ ใช้หลักการเดียวกันกับตัวอย่างแรก จะได้แผนภาพคือ
ตอบ ประพจน์ที่กำหนดให้เป็นสัจนิรันดร์
การตรวจสอบสัจนิรันดร์โดยการสมมุติให้เป็นเท็จ
ประพจน์∼p∧(p∨∼(r∧s))]→(∼r∨s)∼p∧(p∨∼(r∧s))]→(∼r∨s)เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
วิธีทำ วาดแผนภาพโดยใช้หลักการเดียวกับตัวอย่างข้อแรก จะได้
จากแผนภาพจะได้ว่า ไม่มีข้อขัดแย้งใด ๆ เกิดขึ้น แสดงว่า ประพจน์ที่กำหนดให้สามารถเกิดกรณีที่เป็นเท็จขึ้นได้ ดังนั้นประพจน์ที่กำหนดให้ไม่เป็นสัจนิรันดร์
ตอบ ประพจน์ ∼p∧(p∨(̸r∧s))]→(∼r∨s)∼p∧(p∨(̸r∧s))]→(∼r∨s) ไม่เป็นสัจนิรันดร์
4.2 ใช้รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน
รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันที่สำคัญ
1. p ∧ ~p ≡ F
2. p ∨ ~p ≡ T
3. p ∧ T ≡ p
4. p ∨ F ≡ p
5. ~(~p) ≡ p
6. p ∨ q ≡ q ∨ p
7. p ∧ q ≡ q ∧ p
8. ( p ∨ q ) ∨ r ≡ p ∨ ( q ∨ r ) ≡ p ∨ q ∨ r
9. ( p ∧ q ) ∧ r ≡ p ∧ ( q ∧ r ) ≡ p ∧ q ∧ r
10. p ∨ ( q ∧ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r )
11. p ∧ ( q ∨ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r )
12. ~( p ∨ q ) ≡ ~p ∧ ~q
13. ~( p ∧ q ) ≡ ~p ∨ ~q
14. p → q ≡ ~q → ~p
15. p → q ≡ ~p ∨ q
16. ~( p → q ) ≡ p ∧ ~q
17. p ↔ q ≡ ( p → q ) ∧ ( q → p )
สัจนิรันดร์
ประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ คือ รูปแบบของประพจน์ที่มี ค่าความจริงเป็นจริงเสมอ ไม่ว่าประพจน์ย่อยจะมีค่าความจริงเป็น จริง หรือ เท็จ ก็ตาม เช่น p ∨ ~p , p → p , ~( p ∧ ~p ) , p ↔ p เป็นต้น
การตรวจสอบว่าประพจน์ใดเป็นสัจนิรันดร์ ทำได้ดังนี้
1. ใช้ตารางแสดงค่าความจริง
ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่าประพจน์ต่อไปนี้ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
1. [ ( p → q ) ∧ p ] → q
| p | q | p → q | ( p → q ) ∧ p | [ ( p → q ) ∧ p ] → q |
| T | T | T | F | T |
| T | F | F | F | T |
| F | T | T | F | T |
| F | F | T | F | T |
จะเห็นว่ารูปแบบของประพจน์ [ ( p → q ) ∧ p ] → q มีค่าจริงเป็นจริงทุกกรณี
ดังนั้น [ ( p → q ) ∧ p ] → q เป็น สัจนิรันดร์
2. ใช้วิธีการหาข้อขัดแย้ง
ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่าประพจน์ต่อไปนี้ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
1. ( p ∧ q ) → ( q ∨ p )
วิธีทำ สมมุติว่า ( p ∧ q ) → ( q ∨ p ) เป็นเท็จ
จากแผนภาพ จะเห็นว่า ค่าความจริงของ p และ q เป็นได้ทั้งจริงและเท็จ
แสดงว่าไม่มีกรณีที่ทำให้ ( p ∧ q ) → ( q ∨ p ) เป็นเท็จ
ดังนั้น รูปแบบของประพจน์ ( p ∧ q ) → ( q ∨ p ) เป็นสัจนิรันดร์
ประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามทุกกรณี ใช้สัญลักษณ์ ~ แทนนิเสธ
จากนิยาม รูปแบบประพจน์ A เป็นนิเสธของ รูปแบบประพจน์ B ก็ต่อเมื่อ
- ค่าความจริงของ A และ B ต่างกันทุกกรณี
- ค่าความจริงของ A และ ~B เหมือนกันทุกกรณี
- A ≡ ~B
- ดังนั้น A เป็นนิเสธของ B ก็ต่อเมื่อ A สมมูลกับ ~B
ตัวอย่างประพจน์ที่เป็นนิเสธกันที่ควรรู้
- ~(p ∧ q) สมมูลกับ ~p ∨ ~q
- ~(p ∨ q) สมมูลกับ ~p ∧ ~q
- ~(p → q) สมมูลกับ p ∧ ~q
- ~(p ⇔ q) สมมูลกับ (p ⇔ ~q) ∨(q ⇔ ~p)
- ~(p ⇔ q) สมมูลกับ (p ∧ ~q) ∨ (q ∧~p)
ตัวบ่งปริมาณ (∀,∃)
คือ ตัวระบุจำนวนสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ประโยคเปิดกลายเป็นประพจน์ ตัวบ่งปริมาณมี 2 ชนิด คือ
- ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึงสมาชิกทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ ∀ อ่านว่า “สำหรับสมาชิก x ทุกตัว”
- ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึงสมาชิกบางตัวในเอกภพสัมพัทธ์ ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ ∃ อ่านว่า “สำหรับสมาชิก x บางตัว”
ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ
- ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ x ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ทำให้ P(x) เป็นจริง
- ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อมี x อย่างน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นเท็จ
- ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อมี x อย่าน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นจริง
- ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อไม่มี x ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ P(x) เป็นจริง
นิเสธของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ
- ~∀x[P(x)] สมมูลกับ ∃x[~P(x)]
- ~∃x[P(x)] สมมูลกับ∀x[~P(x)]
- ~∀x[~P(x)] สมมูลกับ∃x[P(x)]
- ~∃x[~P(x)] สมมูลกับ∀x[P(x)]
