เวกเตอร์ (vector)

เวกเตอร์ (อังกฤษ: vector) เป็นปริมาณในทางคณิตศาสตร์ และ ฟิสิกส์ ปริมาณเวกเตอร์ประกอบไปด้วยขนาด (magnitude) และทิศทาง (direction) ซึ่งสามารถใช้ดำเนินการทางคณิตศาสตร์บนปริภูมิเวกเตอร์ (vector space) ต่างจากปริมาณสเกลาร์ที่อธิบายปริมาณด้วยขนาดเพียงอย่างเดียว

เวกเตอร์มีการใช้กันในหลายสาขานอกเหนือจากทางคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะในทางวิทยาศาสตร์ฟิสิกส์ และเคมี เช่น การกระจัด

เวกเตอร์และสมบัติของเวกเตอร์
เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก
ผลคูณเชิงสเกลาร์
ผลคูณเชิงเวกเตอร์
การหาพื้นที่และปริมาตร

เวกเตอร์ ปริมาณมี 2 แบบ คือสเกลาร์ กับเวกเตอร์
สเกลาร์ เป็น ปริมาณที่มีแต่ขนาด เช่น พื้นที่ อุณหภูมิ ความยาว เป็นต้น
เวกเตอร์ เป็น ปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง เช่นความเร็ว แรง เป็นต้น
เราสามารถแทนเวกเตอร์ในเชิงเรขาคณิตได้ด้วยส่วนของเส้นตรงและลูกศร โดยที่ทิศทางของลูกศรแทนทิศทางของเวกเตอร์ และความยาวของลูกศรแทน ขนาดของเวกเตอร์ หางลูกศรเรียกว่า จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ หัวลูกศร เรียกว่า จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์

สัญลักษณ์ที่ใช้

(รูปที่ 1)

บทนิยาม 1 ถ้าเวกเตอร์ u และ v เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ แล้ว ผลบวกของเวกเตอร์ u และ v เขียนแทนด้วยเวกเตอร์ u + v หาได้จากให้ตำแหน่งเวกเตอร์ v มีจุดเริ่มต้นอยู่ที่จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ u
เวกเตอร์ u + v จะแทนด้วยลูกศรจากจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ u ไปยังจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ v ดังรูปที่ 2

(รูปที่ 2)

บทนิยาม 2 ให้เวกเตอร์ v เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ และ k เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ แล้ว เวกเตอร์ kv หมายถึงเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ |k| เท่าของเวกเตอร์ v เมื่อ k>0 เวกเตอร์ kv จะมีทิศทางเดียวกับ v และเมื่อ k<0 เวกเตอร์ kv มีทิศตรงข้ามกับเวกเตอร์ v และให้เวกเตอร์ kv =0 เมื่อ k =0

จากรูปที่ 3 ได้ว่าเวกเตอร์ v กับเวกเตอร์ Kv เป็นเวกเตอร์ที่ขนานกัน

เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากในปริภูมิสามมิติ

ให้เวกเตอร์ v เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิ 3 มิติในระบบพิกัดฉาก ซึ่งมีจุดเริ่มต้นอยู่ที่จุดกำเนิด และจุดสิ้นสุดอยู่ที่จุด (x₁,y₁,z₁) ดังรูปที่ 5 เรียกพิกัด x₁,y₁และ z₁ว่า ส่วนประกอบเวกเตอร์ และเขียนแทนด้วย

เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก 2 มิติและ 3 มิติ

เนื้อหาประกอบด้วย

2.1 ระบบพิกัด

2.2 เวกเตอร์

2.3 ส่วนประกอบของเวกเตอร์

2.4 การบวกเวกเตอร์

2.5 เวกเตอร์ตำแหน่ง

2.6 การคูณเวกเตอร์

สรุปเวกเตอร์ (Vector)ในระบบพิกัดฉาก(2มิติ)และ 3 มิติ

เวกเตอร์เป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์อย่างหนึ่ง ซึ่งดูเหมือนไม่มีความจำเป็นแตเป็นเครื่องมืออย่างแรกที่ต้องใช้ อย่างไรก็ตามในการศึกษาทางฟิสิกส์เวกเตอร์เป็นเครื่องมือที่มีความสำคัญ เพื่อช่วยในอำนวยความสะดวกในการคำนวณ

2.1 ระบบพิกัด (แกนอ้างอิง)

ระบบพิกัดมีความสำคัญเพื่อช่วยในการวัดมีความหมาย เช่นอีก 800 m ถึงอาคารวิทยาศาสตร์เป็นการบอกที่ไม่สมบูรณ์ เนื่องจากไม่ทราบว่าเริ่มต้นที่ตำแหน่งใด

ดังนั้นในการกำหนดระบบพิกัดต้องทราบ

ก. จุดเริ่มต้น

ข. ชนิดของระบบพิกัด (พิกัดฉาก ; พิกัดเชิงขั้ว ; พิกัดทรงกระบอก)

ค. ทิศตามแกน

ระบบพิกัดแบบมาตรฐานใน 2 มิติ

ได้แก่ระบบพิกัดฉาก (Cartesian) และ ระบบพิกัดเชิงขั้ว (Polar)

ระบบพิกัดแบบมาตรฐานใน 3 มิติ

ได้แก่ระบบพิกัดฉาก (Cartesian) และ ระบบพิกัดทรงกระบอก (Cylindrical) และระบบพิกัดทรงกลม (Spherical)

รูปที่ 2.3 ระบบพิกัดฉากใน 3 มิติ

2.2 เวกเตอร์

สเกลาร์ : ปริมาณที่มีเฉพาะขนาดอย่างเดียว

เวกเตอร์ : ปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง

รูปที่ 2.1 แสดงระบบพิกัดใน 2 มิติ

ลคูณเชิงสเกลาร์ (Scalar Product or Product)
ผลคูณเชิงสเกลาร์ หมายถึง ผลคูณของเวกเตอร์ที่ได้ผลลัพธ์เป็นสเกลาร์ ซึ่งนิยามในสองมิติ และสามมิติ ได้ดังนี้
บทนิยาม  ถ้า  = x₁ + y₁ และ  = x₂ + y₂
ผลคูณเชิงสเกบาร์ของ และ  คือ x₁x₂+ y₁ y₂
ถ้า   =x₁+ y₁+z₁ และ =x₂+y₂ +z₂
ผลคูณเชิงสเกลาร์ของ และ  คือ x₁x₂+ y₁ y₂+ z₁z₂
          ผลคูณเชิงสเกลาร์ของ   และ   เขียนแทนด้วย  ,