สรุปย่อเรื่อง ลำดับและอนุกรม ม.ปลาย

ลำดับและอนุกรม

ลำดับ

สำหรับในบทลำดับและอนุกรม จะมีหัวข้อหลัก ๆ คือ 1. ลำดับ และ 2. อนุกรม ซึ่งความหมายและการใช้ประโยชน์ในทั้งสองหัวข้อนี้แตกต่างกัน และการใช้งานก็แตกต่างกันด้วย โดยในเรื่อง ลำดับและอนุกรมนี้ เป็นเรื่องที่เป็นพื้นฐานสำคัญทางคณิตศาสตร์ระดับสูง

ลำดับและอนุกรม คืออะไร

ลำดับ คือ กลุ่มของตัวเลขที่มีความสัมพันธ์กัน ซึ่งแบ่งออกเป็น 2 รูปแบบใหญ่ ๆ คือ

ลำดับเลขคณิต
ลำดับเรขาคณิต

ลำดับเลขคณิต คือ ลำดับที่มีผลต่างของพจน์ที่ n+1 กับพจน์ที่ n โดยมีค่าคงที่เป็นผลต่างร่วม (d)

ตัวอย่าง

1, 3, 5, 7, 9 …. มี d = 2

9, 6, 3, 0, …. มี d = -3

ลำดับเรขาคณิต คือ ลำดับที่มีอัตราส่วนของพจน์ที่ n+1 กับพจน์ที่ n โดยมีค่าคงที่เป็นอัตราส่วนร่วม (r)

ตัวอย่าง

3, 6, 12, 24 …. มี r = 2

2, -4, 8, -16 … มี r = -2

วิธีการหา a ที่พจน์ใดๆ
- ลำดับเลขคณิต : a_n=a₁+(n-1)d
- ลำดับเรขาคณิต : a_n=a₁r^n-1

อนุกรม

ถ้ายังจำได้ในเรื่องลำดับ คือ ลำดับสามารถแบ่งได้เป็นสองแบบ ได้แก่ ลำดับเลขคณิต และ ลำดับเรขาคณิต อนุกรมก็เช่นกัน สามารถแบ่งได้เป็นอนุกรมเลขคณิต และ อนุกรมเรขาคณิต โดยที่อนุกรม คือ ผลบวกของลำดับนั่นเอง

ถ้าเป็นผลบวกของลำดับเลขคณิต ก็จะเป็น อนุกรมเลขคณิต
ถ้าเป็นผลบวกของลำดับเรขาคณิต ก็จะเป็น อนุกรมเรขาคณิต

ผลบวกของลำดับเลขคณิต
ซึ่งลำดับเลขคณิต คือ ลำดับของจำนวนสองจำนวนใด ๆ ที่อยู่ติดกันห่างกันเป็นค่าคงตัว (d) เสมอ เรียกค่าคงตัวนั้นว่า ผลต่างร่วม (Common Difference)

ตัวอย่างที่ 1 : ลำดับเลขคณิต 3, 5, 7, 9, …21
เป็นลำดับเลขคณิตที่มีผลต่างร่วม = 2
อนุกรมเลขคณิต 3 + 5 + 7 + 9 + …21

ตัวอย่างที่ 2 : ลำดับเลขคณิต 15, 10, 5, 0, -5, -10, …-35
เป็นลำดับเลขคณิตที่มีผลต่างร่วม = -5
อนุกรมเลขคณิต 15 + 10 + 5 + 0 + (-5) + (-10) + …+ (-35)

ดังที่เห็นจากตัวอย่างข้างต้นจะเห็นได้ชัดเลยว่าลำดับเลขคณิตและอนุกรมเลขคณิตนั้นมีความสัมพันธ์กันโดยตรง ซึ่งเนื้อหาส่วนนี้น้องม.ปลายจะสามารถใช้แก้โจทย์ปัญหาประยุกต์ เช่น การหาผลรวมสิ่งที่เป็นลำดับได้ และสามารถนำความรู้ไปต่อยอดในบทแคลคูลัสและเมทริกซ์ได้อีกด้วย