เรียนเลขออนไลน์ จำนวนจริง ม.4 สมบัติการตัดออก
สมบัติของระบบจำนวนจริง
ระบบจำนวนจริงประกอบด้วยเซตของจำนวนจริง R กับการบวกและการคูณ ซึ่งมีสมบัติดังนี้
ให้ a, b และ c เป็นจำนวนจริง
สมบัติ การบวก การคูณ
ปิด a + b ∈ R a · b ∈ R
การสลับที่ a + b = b + a a · b = b · a
การเปลี่ยนกลุ่ม a + (b + c) = (a + b) + c ∈ R a · (b · c) = (a · b) · c
การมีเอกลักษณ์ มีจำนวน 0 ที่ทำให้ a + 0 = 0 + a มีจำนวน 1 ที่ทำให้ a · 1 = 1 · a
เรียก 0 ว่าเป็นเอกลักษณ์การบวก เรียก 1 ว่าเป็นเอกลักษณ์การคูณ
การมีอินเวอร์ส สำหรับจำนวนจริง a จะมี −a ที่ทำให้ สำหรับจำนวนจริง a , 0 จะมี 1
a ที่ทำให้
a + (−a) = 0 = −a + a a · 1
a = 1 = 1
a · a
การแจกแจง a · (b + c) = a · b + a · c และ (a + b) · c = a · c + b · c
การตัดออก ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c ถ้า a · b = a · c และ a , 0 แล้ว b = c
จากสมบัติของระบบจำนวนจริงเกี่ยวกับการบวกและการคูณที่กล่าวมาข้างต้น
เพียงพอที่จะพิสูจน์ทฤษฎีต่อไปนี้
ทฤษฎีบท 1.1 เมื่อ a, b และ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ
1. ถ้า a + c = b + c แล้ว a = b
2. ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c
3. ถ้า ac = bc และ c , 0 แล้ว a = b
4. ถ้า ab = ac และ a , 0 แล้ว b = c
5. a · 0 = 0
6. (−1)a = −a
7. ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0
การลบและการหารจำนวนจริง
บทนิยาม 1.1 เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริงใดๆ
a − b = a + (−b)
จากบทนิยามข้างต้นและจากสมบัติของจำนวนจริง เราได้ว่า
ทฤษฎีบท 1.2 ถ้า a, b และ c เป็นจำนวนจริง แล้ว
1. a(−b) = −ab
2. −a(b) = −ab
3. (−a)(−b) = ab
