การพิสูจน์ทฤษฎีบทของพโตเลมีโดยใช้เวกเตอร์

คลอดิอุส ปโตเลมี
CLAUDIUS PTOLEMAEUS (PTOLEMY)
ทฤษฎีบทของพโตเลมี ( Ptolemy’s Theorem ) ซึ่งกล่าวว่า ผลคูณของเส้นทแยงมุมทั้งสองของสี่เหลี่ยมใด ๆ ซึ่งบรรจุในวงกลมวงหนึ่ง ย่อมมีค่าเท่ากับผลบวกของผลคูณของด้านคู่ตรงข้ามของสี่เหลี่ยมใดๆ รูปนั้น สามารถพิสูจน์โดยใช้วิธีการทางเรขาคณิตได้ แต่ในบทความนี้ จะพิสูจน์ทฤษฎีบทของพโตเลมีโดยการใช้วิธีการทางเวกเตอร์มาใช้ในการพิสูจน์ ซึ่งเป็นวิธีที่ต่างจากการพิสูจน์ที่เคยมีมา ทั้งยังได้นำทฤษฎีบทของพโตเลมีมาประกอบการพิสูจน์ทฤษฎีบทอื่นๆ ในบทความนี้ด้วย

ปโตเลมีเป็นนักดาราศาสตร์และนักภูมิศาสตร์ที่มีชื่อเสียงมากในช่วงที่ยังมีชีวิตอยู่ (ค.ศ. 90 – 168) ปโตเลมีเป็นชาวกรีกโดยกำเนิด แต่ใช้ชีวิตส่วนใหญ่ที่เมืองอเล็กซานเดรีย ประเทศอียิปต์ อัตชีวประวัติส่วนตัวของปโตเลมีมีการบันทึกไว้น้อยมากและไม่ชัดเจน

ผลงานที่สร้างชื่อเสียงให้ปโตเลมีมากที่สุด ได้แก่ ชุดประมวลความรู้คณิตศาสตร์ด้านดาราศาสตร์ ที่เรียกว่า “Mathematical Syntaxis” ซึ่งมีจำนวน 13 เล่ม โดยในเวลาต่อมา ซึ่งเป็นยุคที่ดาราศาสตร์รุ่งเรืองในดินแดนตะวันออกกลาง ชาวอรับได้นำหนังสือดังกล่าวมาแปล โดยเรียกว่า “แอลมาเกสต์” (Almagest) ซึ่งมีความหมายว่า “The Greatest” โดยชุดประมวลความรู้ดังกล่าว ปโตเลมีได้รวบรวมและเรียบเรียงความรู้ต่างๆ ไว้อย่างละเอียด และมีระเบียบเป็นลำดับขั้นตอน ซึ่งสะดวกต่อการค้นคว้าและเข้าใจง่าย ถึงแม้ว่าผลงานทั้งหมดจะไม่ใช่ของปโตเลมีทั้งหมด

แอลมาเกสต์
หน้าซ้ายมือ อธิบายการคำนวณช่วงเวลาเกิดสุริยุปราคา และจันทรุปราคา
หน้าขวามือ อธิบายแบบจำลองการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์
อาทิเช่น ดาวอังคาร ดาวพฤหัสบดี และดาวเสาร์

แอลมาเกสต์เป็นชุดหนังสือที่รวบรวมความรู้ด้านดาราศาสตร์ในยุคนั้น โดยเฉพาะผลงานของฮิพพาคัส (Hipparchus : นักดาราศาสตร์ผู้มีชื่อเสียงชาวกรีก มีชีวิตอยู่ในช่วง ปี 170 – 125 ก่อนคริสตกาล) ซึ่งมีอิทธิพลต่อความคิดในการพัฒนาผลงานต่างๆ ของปโตเลมี ผลจากการรวบรวมความรู้โดยปโตเลมีทำให้บันทึกของฮิพพาคัสได้ตกทอดมาถึงปัจจุบัน

แอลมาเกสต์ ทั้ง 13 เล่ม ได้อธิบายเรื่องต่างๆ ด้านดาราศาสตร์ไว้ดังนี้

เล่มที่	เรื่อง
1	อธิบายพื้นฐานด้านดาราศาสตร์ที่เกี่ยวกับการพิสูจน์ว่าโลกกลม รวมไปถึงการอธิบายว่าเอกภพเป็นทรงกลมด้วย
2	อธิบายหลักการของปโตเลมีที่แบ่งโลกออกเป็นโซนต่างๆ รวมไปถึงการอธิบายเรื่องดวงอาทิตย์ขึ้นและดวงอาทิตย์ตก
3	อธิบายช่วงระยะเวลาของปี และทฤษฎีการเคลื่อนที่ของดวงอาทิตย์
4	อธิบายช่วงระยะเวลาของเดือน และทฤษฎีการเคลื่อนที่ของดวงจันทร์
5	อธิบายระยะทางระหว่างดวงจันทร์และดวงอาทิตย์ ระยะทางระหว่างดวงจันทร์และโลก รวมไปถึงการสร้างเครื่องมือวัดระยะระหว่างดาว
6	อธิบายการเกิดสุริยุปราคา และจันทรุปราคา
7,8	อธิบายการกำหนดตำแหน่งดวงดาวบนท้องฟ้า
9	อธิบายเรื่องดาวเคราะห์ในระบบสุริยจักรวาล อาทิเช่น ดาวพุธ ดาวศุกร์ ดาวอังคาร ดาวพฤหัส และดาวเสาร์
10	อธิบายเรื่องดาวเคราะห์ในระบบสุริยจักรวาล โดยเน้นดาวศุกร์ และดาวอังคาร
11	อธิบายเรื่องดาวเคราะห์ในระบบสุริยจักรวาล โดยเน้นดาวพฤหัส และดาวเสาร์
13	อธิบายเกี่ยวกับดวงดาวต่าง ๆ อย่างละเอียด

จากหลักการความคิดของอาริสโตเติลที่เชื่อว่าโลกเป็นศูนย์กลางของจักรวาล โดยมีดาวเคราะห์และดวงดาวต่างๆ โคจรรอบโลกเป็นวงกลมสมบูรณ์นั้น ได้ทำให้ปโตเลมีใช้การสังเกต ทางดาราศาสตร์และความรู้ด้านคณิตศาสตร์ในการพัฒนาระบบจักรวาล “Ptolemaic System” ที่อธิบายว่า “โลกเป็นศูนย์กลางของจักรวาล” เนื่องจากปโตเลมีได้ใช้คณิตศาสตร์ในการพิสูจน์และอธิบายระบบจักรวาลดังกล่าว ทำให้ไม่มีผู้โต้แย้งเป็นเวลาร่วม 1,400 ปี จนกระทั่ง ค.ศ. 1543 โคเพอร์นิคัส นักดาราศาสตร์ชาวโปแลนด์ ได้พิสูจน์ว่าทฤษฎีของปโตเลมีที่ระบุว่าโลกเป็นศูนย์กลางของจักรวาลนั้นผิด โดยแท้ที่จริงแล้ว ดวงอาทิตย์ต่างหากที่เป็นศูนย์กลางของสุริยจักรวาล โดยมีโลกและดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์

ระบบจักรวาลของปโตเลมี ที่มีโลกเป็นศูนย์กลางของจักรวาล โดยมีดวงจันทร์ (LVNAE)
ดาวพุธ (MERCVRII) ดาวศุกร์ (VENERIS) ดวงอาทิตย์ (SOLIS) ดาวอังคาร (MARTIS)
ดาวพฤหัส (IOVIS) และดาวเสาร์ (SATVRNIS) โคจรไปรอบโลก

เพื่อให้สอดคล้องกับผลการสังเกตบนท้องฟ้า ปโตเลมีได้อธิบายการโคจรของดาวเคราะห์และดวงดาวต่างๆ ด้วยวงกลมวงใหญ่ (deferent) ที่หมุนรอบโลก พร้อมกับมีวงกลมวงเล็กที่เรียกว่า “epicycles” ซึ่งเป็นวงโคจรของดาวเคราะห์โดยเคลื่อนที่บนเส้นรอบวงของวงกลมวงใหญ่ การเคลื่อนที่ของวงกลมใหญ่จะเคลื่อนที่ไปตามทิศทางของจุดที่ 1 จนถึง 7 โดยวงกลมวงเล็กจะเคลื่อนที่ในลักษณะที่ควงสว่าน และสังเกตได้ว่าดาวเคราะห์จะมีการโคจรถอยหลังจากจุด 3 จนถึง 5 ซึ่งปโตเลมีใช้อธิบายการโคจรถอยหลังของดาวเคราะห์ที่สังเกตได้

นักดาราศาสตร์รุ่นหลังได้วิเคราะห์แล้วว่า สาเหตุหลักที่ปโตเลมีใช้การอธิบายที่ค่อนข้างซับซ้อน ก็เนื่องจากว่า ปโตเลมีเชื่อว่าดาวเคราะห์โคจรเป็นวงกลม ทั้งที่ความเป็นจริงแล้วดาวเคราะห์โคจรเป็นวงรี (ค้นพบโดยเคปเลอร์ ในช่วงเวลาอีก 1,450 ปีต่อมา) ทำให้การพยากรณ์สำหรับการโคจรบางส่วนจึงผิดพลาดสะสมไปเรื่อยๆ อย่างไรก็ตาม นักดาราศาสตร์ในยุคปัจจุบันก็ได้ยอมรับว่า การอธิบายของปโตเลมีถือว่าดีที่สุดแล้วในเวลานั้น

นอกจากนี้ ปโตเลมีได้แสดงความคิดเห็นไว้ว่า การที่เราเห็นดวงดาวต่าง ๆ บนท้องฟ้าเคลื่อนที่ไปนั้น อาจเกิดจากการที่โลกหมุนรอบตัวเอง (เฮอราไคลดัส Heraclidus นักปราชญ์กรีกได้เสนอความคิดนี้มาก่อนแล้ว) แต่ว่าทฤษฎีโลกหมุนรอบตัวเองนั้นยังไม่เป็นที่ยอมรับในเวลานั้น

ความเชื่อตามความคิดของอาริสโตเติล และแบบจำลองระบบจักรวาลโดยปโตเลมี ที่ระบุและพิสูจน์ว่าโลกเป็นศูนย์กลางของจักรวาล ไม่เพียงแต่ฝังรากลึกในแวดวงวิทยาศาสตร์ในยุคดัง กล่าวเท่านั้น แต่ความเชื่อดังกล่าวยังได้ฝังรากลึกในศาสนจักรคาทอลิกอย่างเหนียวแน่นอีกด้วย ซึ่งมีผลกระทบอย่างรุนแรงต่อนักวิทยาศาสตร์รุ่นต่อมา อาทิเช่น โคเพอร์นิคัส หรือ กาลิเลโอ ที่พยายามพิสูจน์ว่าโลกไม่ได้เป็นศูนย์กลางของจักรวาล

นอกจากผลงานทางด้านดาราศาสตร์แล้ว ปโตเลมียังสร้างผลงานทางด้านคณิตศาสตร์ อาทิเช่น ทฤษฎีบทปโตเลมี (Ptolemy’s Theorem) ซึ่งอธิบายรูปสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่าที่บรรจุอยู่ในวงกลม นอกจากนี้ ปโตเลมียังได้พิสูจน์ค่า Sin (A+B) Cos (A+B) ซึ่งถือได้ว่าเป็นจุดเริ่มต้นของตรีโกณมิติ (Trigonometry) นอกจากเป็นนักคิดแล้ว ปโตเลมียังเป็นนักประดิษฐ์เครื่องมือต่างๆ โดยเฉพาะเครื่องมือด้านดาราศาสตร์ เพื่อใช้สำหรับการวัดมุมที่ดวงดาวหรือดวงอาทิตย์ทำมุมกับโลก

ความรู้อื่นๆ ที่น่าสนใจ
7 ข้อแนะนำสำหรับขาแรงก่อนลงแข่งขันวิ่งระยะไกล
7 ข้อแนะนำเตรียมความพร้อมก่อนเข้าร่วมการแข่งขันวิ่งระยะไกล เพื่อความปลอดภัยของผู้เข้าแข่งขัน

สมเด็จพระมหิตลาธิเบศร อดุลยเดชวิกรม พระบรมราชชนก
พระบิดาแห่งการแพทย์แผนปัจจุบัน

อริสโตเติล
นักธรรมชาติวิทยาคนแรกของโลก

วิลเลี่ยม ฮาร์วี่
นายแพทย์ชาวอังกฤษผู้ใช้เวลากว่า 10 ปีในการศึกษาระบบการไหลเวียนโลหิตในร่างกายว่าทำงานอย่างไร

ภาวะ “คลอดก่อนกำหนด”
เนื่องจากภาวะคลอดก่อนกำหนดจะทำให้ร่างกายของเด็กที่คลอดออกมายังไม่พร้อมต่อการเผชิญสภาพแวดล้อมภายนอก จึงต้องมีการดูแลเอาใจใส่เป็นพิเศษ

การปฐมพยาบาลเบื้องต้นเมื่อถูกงูกัด
เมื่อถูกงูกัด ควรตั้งสติให้ดีและปฐมพยาบาลให้ถูกต้อง เพื่อให้พิษส่งผลกระทบกับผูถูกกัดน้อยที่สุด และสามารถนำส่งแพทย์ได้ทัน

ทำอย่างไร…ห่างไกลสมองเสื่อม
ภาวะสมองเสื่อมนั้นถือว่าเป็นโรคชนิดหนึ่ง ไม่ใช่ภาวะปกติของผู้สูงอายุ สาเหตุเกิดจากลักษณะการใช้ชีวิตในแต่ละวันของคนเราว่าจะเพิ่มความเสี่ยงที่จะเป็นโรคนี้หรือไม่ จึงควรรู้ถึงสาเหตุและวิธีการป้องกันไม่ให้เกิดภาวะสมองเสื่อม

เอกสารอ้างอิง

[1] Owen Gingerich, The Eye of Heaven, Ptolemy, Copernicus, Kepler, AIP, 1993.
[2] http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Ptolemy.html
[3] http://obs.nineplanets.org/psc/theman.html
[4] http://galileo.rice.edu/sci/theories/ptolemaic_system.html
[5] จารนัย พานิชกุล (ผู้แปล), Jon Balchin (ผู้เขียน), “สุดยอดอัจฉริยะ 100 นักวิทยาศาสตร์ผู้เปลี่ยนแปลงโลก” (100 Scientists Who Changed the World), สำนักพิมพ์ปาเจรา, 2549

การพิสูจน์ทฤษฎีบทของพโตเลมีโดยใช้เวกเตอร์

Author: Tuemaster Admin

Related Posts