คณิตศาสตร์พื้นฐานหลักการนับเบื้องต้น (เลขหลัก) คณิตศาสตร์ ม.4 

ต่อเนื่องจากหลักการคูณ หากมีสิ่งของอยู่ n ชิ้นที่แตกต่างกันทั้งหมด แล้วต้องการจะนำสิ่งของ r ชิ้นจากสิ่งของที่มีอยู่ นำมาเรียงลำดับจะได้ว่า

• ขั้นตอนที่ 1 เลือกของชิ้นที่ 1 มาวาง ซึ่งจะเป็นชิ้นใดก็ได้ มี n ชิ้น
• ขั้นตอนที่ 2 เลือกของชิ้นที่ 2 มาวาง โดยเป็นชิ้นที่เหลือจากการวางชิ้นที่ 1 มี n-1 ชิ้น
• ขั้นตอนที่ r เลือกของชิ้นที่ r โดยเป็นชิ้นที่เหลือจากการวางชิ้นที่ r-1 มี n-r+1 ชิ้น

ดังนั้น จำนวนวิธีในการนำสิ่งของมาเรียง = n ✕ (n-1) ✕ (n-2) ✕ … ✕ (n-r+1)
หรือเรียกอีกอย่างว่า แฟกทอเรียล เขียนแทนด้วย n! โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก
โดย n! = n ✕ (n-1) ✕ (n-2) ✕ … ✕ 3 ✕ 2 ✕ 1
และ 0! = 1

วิธีการเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมด

                จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งซ้ำกันบางส่วน ดังนี้

                               กลุ่มที่ 1 มีสิ่งของที่มีความซ้ำกันอยู่ n1 สิ่ง

                               กลุ่มที่ 2 มีสิ่งของที่มีความซ้ำกันอยู่ n2 สิ่ง

กลุ่มที่ 3 มีสิ่งของที่มีความซ้ำกันอยู่ n3 สิ่ง

                               กลุ่มที่ k มีสิ่งของที่มีความซ้ำกันอยู่ nk สิ่ง

                                         เมื่อ n = n1 + n2 + n3 + … + nk

1)  จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของทั้ง n สิ่ง ซึ่งไม่แตกต่างกันทั้งหมดในแนวเส้นตรง คือ [n! / n1! . n2! . n3! . … . nk!] วิธี

2)  จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของทั้ง n สิ่ง ซึ่งไม่แตกต่างกันทั้งหมดในแนวเส้นตรง โดยจัดทีละ r สิ่ง (r)

2.การเรียงสับเปลี่ยนของ n สิ่ง ซึ่งมีบางสิ่งซ้ำกัน  มีวิธีการจัดเรียงได้ทั้งหมด =     n!     วิธี

n₁!n₂!n₃!…..n_k!

วิธีการเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด

                    หมายถึง การนำสิ่งของที่มีลักษณะที่แตกต่างกันทั้งหมดมาจัดเรียงสับเปลี่ยน โดยถือตำแหน่งหรือลำดับก่อนหลังเป็นสำคัญ

แบ่งออกเป็น 3 แบบ คือ

1)       จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดในแนวเส้นเดียวกัน (แต่ไม่เป็นวงกลม) เท่ากับ n! วิธี

2) จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดในแนวเส้นเดียวกัน โดยจัดทีละ r สิ่ง (r £ n) เท่ากับ n! / (n-r)! วิธี

                                            เขียนแทนด้วย P(n, r) = n! / (n-r)!

                                                      จาก P(n, r) = n! / (n-r)!

= n . (n-1) . (n-2) . … . (n-r+1) . (n-r)! / (n-r)!

= n . (n-1) . (n-2) . … . (n-r+1)

ตัวอย่าง  จะมีวิธีการเรียงตัวอักษรในคำว่า  MISSISSIPPI  มาเรียงสับเปลี่ยนกันใหม่ทั้งหมดได้ กี่วิธี

วิธีทำ               มีตัว S ซ้ำ 4 ตัว  มีตัว I ซ้ำ 4 ตัว  มีตัว P ซ้ำ 2 ตัว

มีตัว M ซ้ำ 1 ตัว

มีวิธีการเรียงสับเปลี่ยน     =          11!

4! 4! 2! 1!

= 11 x 10 x 9 x7 x5

=  34,650   วิธี

3.การเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลม

ถ้ามีของ n สิ่งต่าง ๆ กัน นำของทั้ง n สิ่งมาเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลม จำนวนวิธี ที่จะจัดได้ทั้งหมด คือ (n-1)!  วิธี

ถ้ามีของ n สิ่งต่าง ๆ กัน เลือกมาเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลมเพียง r สิ่ง      (r<n)  จำนวนวิธีที่จัดได้ทั้งหมด คือ    n!    วิธี (n-r)!r

จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดในแนววงกลม เท่ากับ (n-1)! วิธี และมีหลักการจัดเรียงโดยแบ่งตามเงื่อนไขได้ดังนี้

3.1 การจัดสิ่งของ n สิ่ง วึ่งแตกต่างกันทั้งหมดในแนววงกลม โดยไม่มีเงื่อนไข จะจัดได้เท่ากับ (n-1)! วิธี

3.2 การสร้างจุดอ้างอิงบนวงกลมก่อน แล้วแทรกเข้าไป วนเป็นวงกลม โดยที่รู้ว่ามีจุดอ้างอิงก่อนแล้ว

3.3 การจัดสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดในแนววงกลม โดยที่มีเงื่อนไขการสับที่ แล้วแทรกอีกฝ่ายหนึ่งเข้าในฝ่ายแรก โดยต้องรู้ว่าการแทรกครั้งนี้มีจุดอ้างอิงแล้ว

3.4 การจัดสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดในแนววงกลม โดยจัดทีละ r สิ่ง (r £ n) เท่ากับ n! / (n-r)! . r! วิธี

                                  เขียนแทนด้วย [P(n, r)] / r = n! / (n-r)! . r!

3.5 การจัดสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดในแนววงกลมแบบมองได้ 2 ด้าน (แบบสามมิติ)

3.6 การจัดสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดในแนววงกลมแบบมองได้ 2 ด้าน โดยจัดทีละ r สิ่ง (r £ n)

เขียนแทนด้วย [P(n, r)] / 2r = n! / (n-r)! . 2r!

4.การจัดหมู่( Combination)

ถ้ามีของ  n  สิ่งต่าง ๆ กัน เราเลือกมา r สิ่ง แบบจัดหมู่  จำนวนวิธีที่เลือกได้คือ

C_n,r       =            n         =       n!

r                (n-r)!r!

r  ที่สุ่มมาได้มีลักษณะคล้ายคลึงกัน

ตัวอย่าง  มีหนังสือที่แตกต่างกัน 5 เล่ม ถ้าอนุญาตให้เด็กยืมได้ 3 เล่ม  เด็กคนหนึ่งจะมีวิธีเลือกได้กี่วิธี

วิธีทำ               หนังสือ 3 เล่มที่ยืมมาได้ถือว่ามีลักษณะไม่แตกต่างกันสลับที่กันไม่มีผลดังนั้นใช้ C _5,2  =             5!        =    10   วิธี

3!2!