คณิตศาสตร์ พื้นฐาน ม 4 เรื่อง ตรรกศาสตร์
ตรรกศาสตร์เบื้องต้น
ประพจน์ (Propositions/Statement)
สิ่งแรกที่ต้องรู้จักในเรื่องตรรกศาสตร์คือ ประพจน์ ข้อความหรือประโยคที่มีค่าความจริง(T) หรือเท็จ(F) อย่างใดอย่างหนึ่ง ส่วนข้อความรูป คำสั่ง คำขอร้อง คำอุทาน คำปฏิเสธ ซึ่งไม่อยู่ใน
รูปของประโยคบอกเล่า จะเป็นข้อความที่ไม่เป็นประพจน์ สำหรับข้อความบอกเล่าแต่มีตัวแปรอยู่ ด้วย ไม่สามารถบอกว่าเป็นจริงหรือเท็จจะไม่เป็นประพจน์ เรียกว่าประโยคเปิด
ประโยคที่มีค่าความจริงไม่แน่นอน หรือไม่อาจระบุได้ว่ามีค่าความจริงเป็นจริงหรือเป็นเท็จได้ ไม่เป็นประพจน์
การเชื่อมประพจน์
โดยปกติเมื่อกล่าวถึงข้อความหรือประโยคนั้นมักจะมีกริยามากกว่าหนึ่งตัว แสดงว่าได้นำประโยคมาเชื่อมกัน
มากกว่าหนึ่งประโยค ดังนั้นถ้านำประพจน์มาเชื่อมกัน ก็จะได้ประพจน์ใหม่ ซึ่งสามารถบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเป็น
เท็จ ตัวเชื่อมประพจน์มีอยู่ 5 ตัว และตัวเชื่อมที่ใช้กันมากในตรรกศาสตร์คือ และ หรือ ถ้า…แล้ว ก็ต่อเมื่อ ไม่
1.ตัวเชื่อมประพจน์ “และ”
2.ตัวเชื่อมประพจน์ “หรือ”
การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ “หรือ” สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ∨q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T)
3.ตัวเชื่อมประพจน์ “ถ้า…แล้ว”
การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ “ถ้า…แล้ว” สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p → q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p เป็นจริง (T) และ q เป็นเท็จ (F) นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T)
4.ตัวเชื่อมประพจน์ “ก็ต่อเมื่อ”
การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ “ก็ต่อเมื่อ” สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ⇔ q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงกัน และจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงข้ามกัน
5.นิเสธของประพจน์ “ไม่”
นิเสธของประพจน์ใดๆ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามกับประพจน์นั้นๆ และสามารถเขียนแทนนิเสธของ p ได้ด้วย ~p
การหาค่าความจริงของประพจน์
ตารางค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อมแบบต่างๆ ที่กล่าวมาแล้วมีไว้เพื่อช่วยในการหาค่าว่าประพจน์ใดเป็นจริงหรือเป็นเท็จ เมื่อทราบค่าความจริงของประพจน์ย่อย ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าความจริงของประโยค “เชียงใหม่และธนบุรีเคยเป็นเมืองหลวงของไทย”
| วิธีทำ | ให้ | p | แทน | เชียงใหม่เคยเป็นเมืองหลวงของไทย |
| ให้ | q | แทน | ธนบุรีเคยเป็นเมืองหลวงของไทย | |
| ประโยคที่กำหนดให้อยู่ในรูป p Λ q | ||||
| เนื่องจาก p เป็นเท็จ และ q เป็นจริง จะได้ p Λ q เป็นเท็จ | ||||
| ดังนั้น ประโยค “เชียงใหม่และธนบุรีเคยเป็นเมืองหลวงของไทย” มีค่าความจริงเป็นเท็จ | ||||
ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ a, b และ c เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็น จริง จริง และเท็จ ตามลำดับ จงหาค่าความจริงของประพจน์ (a Λ b) c
| วิธีทำ | จาก a เป็นจริง และ b เป็นจริง จะได้ a Λ b เป็นจริง |
| จาก a Λ b เป็นจริง และ c เป็นเท็จ | |
| จะได้ (a Λ b) c เป็นจริง |
ตัวอย่างที่ 3 จงหาค่าความจริงของประพจน์ ~(a → ~b) เมื่อ a, b เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง
| วิธีทำ | จาก b เป็นจริง จะได้ ~b เป็นเท็จ |
| จาก a เป็นจริง และ ~b เป็นเท็จ จะได้ a → ~b เป็นเท็จ | |
| ดังนั้น ~(a → ~b) มีค่าความจริงเป็นจริง |
ในการหาค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อมอาจทำได้รวดเร็วขึ้นโดยใช้แผนภาพดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 4 กำหนดให้ p, q, r และ s เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็น จริง เท็จ เท็จ และจริง ตามลำดับ จงหาค่าความจริงของประพจน์ [(p Λ q) r] → (p s)
ดังนั้น ประพจน์ [(p Λ q) r] → (p s) มีค่าความจริงเป็นจริง
| หมายเหตุ | การหาค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อมตั้งแต่สองตัวขึ้นไป จะหาค่าความจริงของประพจน์ย่อยในวงเล็บก่อน แต่ถ้า |
| ประพจน์นั้นไม่ได้ใส่วงเล็บให้หาค่าความจริงของตัวเชื่อม “~” ก่อนแล้วจึงหาค่าความจริงของตัวเชื่อม “” , “Λ” จากนั้น | |
| จึงหาค่าความจริงของตัวเชื่อม “→” และลำดับสุดท้ายเป็นการหาค่าความจริงของตัวเชื่อม “↔” |
ประพจน์ที่สมมูลกัน
ประพจน์ที่สมมูลกัน หมายถึง รูปแบบของประพจน์สองรูปแบบที่มีค่าความจริงตรงกัน กรณีต่อกรณี และสามารถนำไปใช้แทนกันได้
ถ้าประพจน์ที่กำหนดให้คือ p∧qp∧q จะมีค่าความจริงเป็นจริงเมื่อทั้งสองประพจน์ pp และ qq มีค่าความจริงเป็นจริงเท่านั้น ไม่ได้มีค่าความจริงเป็นจริงในทุกกรณี ดังนั้น ประพจน์นี้จึง ไม่เป็นสัจนิรันดร์
ประพจน์ (p∨q)∧p(p∨q)∧p เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
จากประพจน์ที่กำหนดให้ จะมีประพจน์ย่อยทั้งหมดสองประพจน์ ดังนั้นสร้างตารางที่มีประพจน์สองประพจน์นี้ขึ้นมา
| p | q |
จากนั้นให้เติมกรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมด ซึ่ง จำนวนกรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ 2n เมื่อ n คือจำนวนประพจน์ วิธีการเติมที่ง่าย และ ได้ครบทุกกรณีโดยไม่ตกหล่น คือ การเติมแบบกลุ่มกลุ่มละครึ่ง
เช่น ในข้อนี้ มีประพจน์ทั้งหมด 2 ประพจน์ ดังนั้นจะมีทั้งหมด 22= 4 กรณี เริ่มแรก เนื่องจากมี 4 กรณี จะได้ว่าครึ่งหนึ่งคือ2 ดังนั้นหลักแรกให้เติม T จำนวนสองตัว และ F จำนวนสองตัว จะได้
| p | q |
| T | |
| T | |
| F | |
| F |
จากนั้นให้ ให้ดูครึ่งนึงของ 22 จะได้ 11 ดังนั้นในหลักที่ 22 ให้เติม TT กับ FF สลับกันครั้งละหนึ่งตัว จะได้
| p | q |
| T | T |
| T | F |
| F | T |
| F | F |
เราก็จะได้กรณีที่เป็นไปได้ครบทั้งหมด
จากโจทย์เราต้องการค่าความจริงของประพจน์ (p∨q)∧p(p∨q)∧p จากตารางข้างบนเราไม่มีค่าความจริงของ p∨qp∨q ดังนั้นสร้างหลักของ p∨qp∨q เพิ่ม และเติมค่าความจริงให้เรียบร้อย จะได้
| p | q | p∨q |
| T | T | T |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
ตอนนี้เรามีค่าความจริงครบทั้งหมดแล้ว ดังนั้นให้สร้างหลักสุดท้าย เป็นหลักของ ประพจน์ที่เราต้องการตรวจสอบ จะได้
| p | q | p∨q | (p∨q)∧p |
| T | T | T | T |
| T | F | T | T |
| F | T | T | F |
| F | F | F | F |
จากตารางด้านบนจะเห็นว่ามีสองกรณีที่ค่าความจริงของประพจน์ที่โจย์ถามนั้นเป็นเท็จ จึง ทำให้ได้ว่า ประพจน์นี้ ไม่เป็นสัจนิรันดร์
ตอบ ประพจน์ที่กำหนดให้ ไม่เป็นสัจนิรันดร์
ตรวจสอบสัจนิรันดร์ โดย การสร้างตารางค่าความจริง
ประพจน์ (p∧q)→(p∨q)(p∧q)→(p∨q) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
ใช้หลักการเดียวกันกับข้อข้างบนสร้างตารางค่าความจริง จะได้ตารางดังนี้
| p | q | (p∧q) | (p∨q ) | (p∧q )→(p∨q ) |
| T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | T |
| F | T | F | T | T |
| F | T | F | F | T |
จากตารางค่าความจริงที่สร้างขึ้น จะเห็นว่า ทุกกรณีที่เป็นไปได้ มีค่าความจริงเป็นจริงทั้งหมด ดังนั้นประพจน์ที่กำหนดให้เป็นสัจนิรันดร์ ตอบ ประพจน์ที่กำหนดให้เป็นสัจนิรันดร์
