สมบัติของเลขยกกำลัง

ถ้า a , b เป็นจำนวนจริงใด ๆ และ m , n เป็นจำนวนเต็มบวก

นิยาม  ถ้า a เป็นจำนวนใด ๆ และ n เป็นจำนวนเต็มบวก  “ a ยกกำลัง n “ หรือ  “ a กำลัง n “

เขียนแทนด้วย a กำลัง n มีความหมายดังนี้  a กำลัง n = a*a*a*a*a …..*a (a คูณกัน  n  ตัว)

จากนิยาม จะเรียก a กำลัง n ว่าเลขยกกำลัง  เรียก a ว่า ฐาน  และเรียก n  ว่า เลขชี้กำลัง

ตัวอย่าง เช่น        1)  3 กำลัง 4  = 3*3*3*3                  มี  3  เป็น ฐาน และ มี 4 เป็นเลขชี้กำลัง

2) (-5) กำลัง 3  = -5*-5*-5                   มี -5  เป็น ฐาน และ มี 3 เป็นเลขชี้กำลัง

1)            การคูณเลขยกกำลัง ถ้าเลขยกกำลังมีฐานเหมือนกัน เมื่อคูณกัน     ให้นำเลขชี้กำลังของตัวคูณแต่ละตัวมาบวกกัน  โดยใช้ฐานตัวเดิม  นั่นคือ  a กำลัง m * a กำลัง n = a กำลัง n+m

เช่น  2 กำลัง 3 * 2 กำลัง 4   = 2 กำลัง 3+4  = 2 กำลัง 7

2)            การหารเลขยกกำลังถ้าเลขยกกำลังมีฐานเหมือนกัน เมื่อหารกัน ให้นำเลขชี้กำลังของตัวหารไปลบเลขชี้กำลังของตัวตั้ง โดยใช้ฐานตัวเดิม นั่นคือ  a กำลัง m / a กำลัง n = a กำลัง m-n

เช่น 3 กำลัง 7 / 3 กำลัง 4   = 3 กำลัง 7-4  = 3 กำลัง 3

3)            เลขยกกำลังซ้อน  ให้นำเลขชี้กำลังมาคูณกัน

นั่นคือ   (a กำลัง m )ทั้งหมดยกกำลัง n  =  a กำลัง m*n   เช่น   (3 กำลัง 4 )ทั้งหมดยกกำลัง 2 =  3 กำลัง 8

4)            เลขยกกำลังของผลคูณสามารถกระจายเป็นผลคูณของเลขยกกำลังแต่ละตัว เมื่อมีฐานคงเดิม  นั่นคือ   (ab) กำลัง n  = a กำลัง n * b กำลัง n     เช่น  (3p) กำลัง 7 = 3 กำลัง 7 * p กำลัง 7

5)            เลขยกกำลังของผลหาร  สามารถกระจายเป็นผลหารของเลขยกกำลังแต่ละตัว เมื่อมีฐานคงเดิม  นั่นคือ   a/b ทั้งหมดกำลัง n  = a กำลัง n / b กำลัง n

6)            เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนลบ   สามารถเขียนให้เป็นส่วนกลับของ

เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนบวกได้  นั่นคือ  a กำลัง -n  = 1 / a กำลัง n

7)            เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์(0)  เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์ (0)  มีค่าเท่ากับ 1 เสมอ   นั่นคือ  a กำลัง 0  = 1   เมื่อ   a ไม่เท่ากับ 0

จากตัวอย่างที่ 1 เป็นไปตามสมบัติของเลขยกกำลัง ข้อที่ 1)  a^m x aⁿ  = a^{m + n} 

ตัวอย่างที่ 2  จงหาค่าของจำนวนต่อไปนี้

1)    (9²)³

2)    (y⁶)²

3)    (3²)⁵

วิธีทำ 1)     (9²)³     =    9²^x³     (นำเลขชี้กำลังมาคูณกัน คือ 2 x 3)

=    9⁶

ตอบ     9⁶

2)      (y⁶)²      =     y⁶^x²     (นำเลขชี้กำลังมาคูณกัน คือ 6 x 2)

=     y¹²

ตอบ      y¹²

3)      (3²)⁵     =    3²^x⁵

=    3¹⁰

ตอบ     3¹⁰

จากตัวอย่างที่ 2 เป็นไปตามสมบัติของเลขยกกำลัง ข้อที่ 2)  (a^m)ⁿ = a^mn 

ตัวอย่างที่ 3  จงหาค่าของ

1)    (5 x 2)³

2)    (z x p)²

วิธีทำ 1)     (5 x 2)³     =  5³ x 2³     (นำ 3 ไปยกกำลังทุกจำนวน)

ตอบ      5³ x 2³

2)      (z x p)²     =    z² x p²  (นำ 2 ไปยกกำลังทุกจำนวน)

ตอบ     z² x p²

จากตัวอย่างที่ 3 เป็นไปตามสมบัติของเลขยกกำลัง ข้อที่ 3)   (a x b)ⁿ = aⁿ x bⁿ