ความรู้พื้นฐาน สมบัติการบวกและการคูณของจำนวนจริง

ความรู้พื้นฐานที่ควรรู้

สมบัติการบวกและการคูณจำนวนจริง

            ถ้า a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

สมบัติ	การบวก	การคูณ
ปิด	a+b €   R	ab  €   R
การสลับที่	a+ b = b+a	ab=ba
การเปลี่ยนหมู่	(a+b)+c = a+(b+c)	(ab)= a(bc)
การมีเอกลักษณ์	มีจำวนจริง 0 ซึ่ง0+a = a= a+0	มีจำนวนจริง ax1 = a= ax1
	เรียก 0ว่าเอกลักษณ์	เรียก 1 ว่าเอกลักษณ์
อินเวอร์ส	สำหรับจำนวนจริง aจะมีจำนวนจริง –a  โดยที่ (-a)+a = 0 = a+(-a) เรียก –a ว่าอินเวอร์ส การบวกจำนวนจริงของ a	เรียก 1 ว่าเอกลักษณ์การคูณสำหรับจำนวนจริง a ที่ a   0 จะมีจำนวนจริง a  โดยที่ a a = 1 = a   a  เรียก a  ว่าอินเวอร์สการคูณของจำนวนจริง a
ดารแจกแจง	A(a+b) = ab+ac

สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง

กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง

2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c

3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c

4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0

นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก

5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a

นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก

6. สมบัติการแจกแจง

a( b + c ) = ab + ac

( b + c )a = ba + ca

สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง

กำหนดให้ a, b, c, เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. สมบัติปิดการคูณ ab เป็นจำนวนจริง

2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ ab = ba

3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c

4. เอกลักษณ์การคูณ 1 · a = a = a · 1

นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง มี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ

5. อินเวอร์สการคูณ a · a-1 = 1 = a · a-1, a ≠ 0

นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจริง a จะมี a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณ ยกเว้น 0

1.) สมบัติปิดการบวก 

สมบัติปิดการบวก คือ การที่เรานำจำนวนจริง 2 ตัวมาบวกกัน เราก็ยังได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริงเหมือนเดิม

เช่น 2 + 2 = 4 จะเห็นว่า 2, 2 เป็นจำนวนจริง เมื่อนำมาบวกกัน ได้ 4 ก็ยังเป็นจำนวนจริง

ดังนั้น ถ้าให้ a, b ∈   จะได้ว่า a + b ∈ 

2.) สมบัติการสลับที่การบวก

ให้ a, b ∈  เมื่อ  เป็นจำนวนจริง จะได้ว่า a + b = b + a

เช่น 12 + 3 = 3 + 12

เราจะตรวจสอบว่า ข้อความข้างบนเป็นจริง

พิจารณา 12 + 3 = 15

พิจาณนา 3 + 12 = 15

ดังนั้น 12 + 3 = 3 + 12

3.) สมบัติการเปลี่ยนหมู่ที่การบวก

ให้ a, b, c ∈  เมื่อ  เป็นจำนวนจริง จะได้ว่า (a + b) + c = a + (b + c)

เช่น (0 + 2) + 4 = 0 + (2 + 4)

ตรวจสอบว่าข้อความข้างต้นเป็นจริง

พิจารณา (0 + 2) + 4 = 2 + 4 = 6

พิจารณา 0 + (2 + 4) = 0+ 6 = 6

ดังนั้น  (0 + 2) + 4 = 0 + (2 + 4)

4.) สมบัติการมีเอกลักษณ์การบวก

สมบัติการมีเอกลักษณ์คือ ไม่ว่าเราจะนำจำนวนจริงใด มาบวกกับเอกลักษณ์ เราจะได้ค่าเดิม

ซึ่งเอกลักษณ์ก็คือ 0 นั่นเอง (เฉพาะของการบวกนะจ๊ะ)

ให้ a ∈  จะได้ว่า a + 0 = a

เช่น 11 + 0 = 11

12 + 0 = 12

** เอกลักษณ์การบวกมีเพียงตัวเดียวเท่านั้น คือ 0

5.) สมบัติการมีตัวผกผันของการบวก

ตัวผกผันการบวก หรือ อินเวอร์สการบวก คือ จำนวนที่เมื่อนำมาบวกกับจำนวนจริงใดๆ แล้วได้ผลลัพธ์เท่ากับ 0

ให้ a ∈  จะได้ว่า อินเวอร์สของ a มีเพียงค่าเดียว คือ -a เพราะ a + (-a) = 0

เช่น  อินเวอร์สการบวกของ 2 มีเพียงค่าเดียว ก็คือ -12 เพราะ 2 + (-2) = 0

อินเวอร์สการบวกของ 4 มีเพียงค่าเดียว ก็คือ -4 เพราะ 4 + (-4) = 0

**อินเวอร์สบวก หรือตัวผกผันการบวก ไม่จำเป็นต้องจำนวนจริงลบ สามารถเป็นจำนวนจริงบวกได้ เช่น

อินเวอร์สการบวกของ -13 คือ 13

อินเวอร์สการบวกของ -1.25 คือ 1.25

1. สมบัติปิดของการคูณ
ถ้า a R และ b R แล้ว a b R
ตัวอย่าง 3 R แล้ว 4 R แล้ว 3 4 = 12 ซึ่ง 12 R

2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ
ถ้า a และ b R แล้ว a b = b a
ตัวอย่าง 2 R และ 3 R แล้ว 2 3 = 3 2

3. สมบัติการเปลี่ยนหมู่สำหรับการคูณ
ถ้า a , b และ c R แล้ว ( ab ) c = a ( b c )
ตัวอย่าง 2 , 3 และ 4 R แล้ว ( 2 3 ) 4 = 2 ( 3 4 )

4. สมบัติการมีเอกลักษณ์การคูณ
จำนวนจริงที่นำมาคูณกับจำนวนจริง a แล้วได้ผลลัพธ์เท่ากับ a เรียกจำนวนจริงที่นำมาคูณว่าเอกลักษณ์การคูณ ในระบบจำนวนจริงมีเอกลักษณ์การคูณจำนวนเดียว คือ 1
ตัวอย่าง 1 3 = 3 = 3 1

5. สมบัติการมีอินเวอร์สของการคูณ
จำนวนที่คูณกับจำนวนจริง a แล้วได้ผลลัพธ์เป็น 1 คือ a– 1 เรียก a– 1 ว่าเป็นอินเวอร์สการคูณของจำนวนจริง a
ตัวอย่าง 4 4 – 1 = 4 = = 1 ดังนั้น 4 – 1 หรือ เป็นอินเวอร์สการคูณของ 4 หรือ 4 4 – 1 = 4 1 +( -1 ) = 4 0 = 1

ตัวอย่างของอินเวอร์สการบวกของจำนวนจริง
1. อินเวอร์สการบวกของ 5 คือ – 5
2. อินเวอร์สการบวกของ 0.3 คือ – 0.3

 สมบัติการมีอินเวอร์สของการคูณ

จำนวนที่คูณกับจำนวนจริง a แล้วได้ผลลัพธ์เป็น 1 คือ a^{– 1} เรียก a^{– 1} ว่าเป็นอินเวอร์สการคูณของจำนวนจริง a

เช่น 4 × 4 ^{– 1} = 4 × 1/4 = = 1 ดังนั้น 4 ^{– 1} หรือ 1/4 เป็นอินเวอร์สการคูณของ 4

หรือ 4 × 4 ^{– 1} = 4 ^{1 +( -1 )} = 4 ⁰ = 1

ตัวอย่างของอินเวอร์สการบวกของจำนวนจริง

1. อินเวอร์สการบวกของ 5 คือ – 5

2. อินเวอร์สการบวกของ 0.3 คือ – 0.3

3. อินเวอร์สการบวกของ – √3 คือ √3

4. อินเวอร์สการบวกของ 2∏ คือ – 2∏

5. อินเวอร์สการบวกของ 1/2 – 1/3 คือ – (1/2-1/3)

6. อินเวอร์สการบวกของ 0.1 คือ – 0.1

7. อินเวอร์สการบวกของ – 1/4 คือ 1/4

8. อินเวอร์สการบวกของ -1+√2/2 คือ – (-1+√2/2) หรือ

ตัวอย่างของอินเวอร์สการคูณของจำนวนจริง

1. อินเวอร์สการคูณของ √2/5 คือ 5/√2

2. อินเวอร์สการคูณของ -25 คือ -1/25

3. อินเวอร์สการคูณของ √3-5√2 คือ 1/√3-5√2

4. อินเวอร์สการคูณของ abc คือ – abc

5. อินเวอร์สการคูณของ – 14/3 คือ – 3/

6. อินเวอร์สการคูณของ a + b คือ 1/a + b

7. อินเวอร์สการคูณของ -a-b-c คือ 1/ -a-b-c

8. อินเวอร์สการคูณของ a-2b/2 คือ 2/a-2b

6. สมบัติการแจกแจง

ถ้า a , b และ c ε R แล้ว a ( b + c ) = a b + ac และ ( b + c ) a = ba + ca

เช่น 2 , 3 และ 4 ε R แล้ว 2 ( 3 + 4) = ( 2υ 3 ) + ( 2υ4 )

หรือ ( 3 + 4 ) 2 = ( 3υ2 ) + ( 4υ2 )