นการสร้างความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล [1] ส่วนมากนิยมใช้ x แทนตัวแปรอิสระ y แทนตัวแปรตาม และข้อมูลที่นำมาสร้างความสัมพันธ์จะต้องประกอบด้วยค่าจากการสังเกตเป็นจำนวนมากพอควร ซึ่งควรจะมีตั้งแต่ 8 ค่าขึ้นไป เพราะหากค่าการสังเกตมีจำนวนน้อยแล้ว สมการที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูลของ 2
การวิเคราะห์ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล
ในการวิเคราะห์ข้อมูลบ่อยครั้งมีข้อมูลเชิงปริมาณที่ประกอบด้วยตัวแปรตั้งสองตัวขึ้นไป และตัวแปรเหล่านั้นมีความเกี่ยวข้องกันอยู่ เช่น รายได้และรายจ่ายของครอบครัว ส่วนสูงและน้ำหนักของเด็กแรกเกิด ความเกี่ยวข้องกันของตัวแปรจะมีลักษณะที่ค่าของตัวแปรหนึ่งขึ้นอยู่กับอีกตัวแปรหนึ่ง เช่น รายจ่ายจะขึ้นอยู่กับรายได้ ส่วนสูงจะขึ้นอยู่กับน้ำหนักกรณีเช่นนี้ จะเรียกตัวแปรที่แสดงรายได้หรือน้ำหนักว่าตัวแปรอิสระ (independent variables)เรียกตัวแปรที่แสดงรายจ่ายหรือส่วนสูงว่า ตัวแปรตาม(dependent variables)
ตัวอย่างที่ 1 จงหาความสัมพันธ์ x กับ y
| x y | xy | x2 | |||
| 1
2 4 6 |
5
8 14 20 |
5
16 56 120 |
1
4 16 36 |
||
| Σx = 13 | Σy = 47 | Σxy = 197 | Σx2 = 57 | ||
วิธีทำ
Σy = cn+ mΣx…………….1)
Σxy = cΣx+ mΣx2…………….2)
47 = 4c + 13m…………….1)
197 = 13c + 57m………………2)
1) x 13 611 = 52c + 169m………………3)
2) x 4 788 = 52c + 228m………………4)
4) –3) 177 = 59m
จะได้ m = 3
แทน m = 3 ใน 1) 47 = 4c + 13(3)
47 = 4c + 39
8 = 4c
ฉะนั้น c = 2
แทนค่าในสมการ y = mx+ c
จะได้ y = 3x + 2 ans
ความสัมพันธ์ของฟังก์ชันที่กราฟเป็นเส้นตรง
สมการทั่วไปของความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันเป็น y= a+bx เมื่อ y เป็นตัวแปรตาม และ x เป็นตัวแปรอิสระ
b เป็นความชันของเส้นตรงหรือค่าของ yที่เปลี่ยนไป เมื่อ x เปลี่ยนไปหนึ่งหน่วย a เป็นระยะตัดแกน y และเป็นค่าคงตัวที่ต้องการหา ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่กราฟไม่เป็นเส้นตรง ในที่นี้จะกล่าวเฉพาะความสัมพันธ์ที่มีกราฟเป็นพาราโบลา และรูปเอกซ์โพเนนเชียล ซึ่งมีรูปสมการของความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน ดังนี้
y = a+bx+cx2 และ y = abx ตามลำดับ เมื่อ y เป็นตัวแปรตาม และ x เป็นตัวแปรอิสระ a,bและ c เป็นค่าคงตัวที่จะต้องหา
ตัวแปรอาจจะไม่ใกล้เคียงกับความเป็นจริง กล่าวคืออาจทำให้ผลจากการทำนายค่าตัวแปรจากสมการคลาดเคลื่อนจากความเป็นจริงไปมาก
โดยทั่วไปความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันของข้อมูลที่ประกอบด้วยตัวแปร 2 ตัว แบ่งออกเป็น 2 ชนิด คือ
1) ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่เป็นเส้นตรง [2]
ความสัมพันธ์ชนิดนี้ มีรูปสมการโดยทั่วไปดังนี้
โดยที่ x เป็นตัวแปรอิสระ
y เป็นตัวแปรตาม
m เป็นความชันของเส้นตรง
c เป็นค่าคงตัว และเป็นระยะตัดแกน y
และมีรูปกราฟคร่าว ๆ ดังนี้
2) ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่ไม่เป็นเส้นตรง (เส้นโค้ง)
แบ่งออกเป็น 2 ชนิด คือ ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่เป็นพาราโบลา[3] กับความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่เป็นเอ็กซ์โพเนนเชียล
– ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่เป็นพาราโบลา มีรูปสมการทั่วไปเป็นดังนี้
เมื่อ x เป็นตัวแปรอิสระ
y เป็นตัวแปรตาม
a, b, c เป็นค่าคงตัวโดย a ≠ 0
และมีกราฟคร่าว ๆ ดังนี้
– ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่เป็นเอ็กซ์โพเนนเชียล มีรูปสมการทั่วไปเป็นดังนี้
และมีกราฟคร่าว ๆ ดังนี้
ในการสร้างความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน สิ่งที่เราจะต้องรู้เป็นอันดับแรกก็คือ ข้อมูลที่โจทย์กำหนดมาให้นั้น มีความสัมพันธ์กันเป็นสมการชนิดใด (เส้นตรง หรือพาราโบลา หรือเอ็กซ์โพเนนเชียล) และวิธีที่จะทราบนั้น ก็ต้องนำข้อมูลที่โจทย์กำหนด มาเขียนเป็นกราฟ โดยขั้นแรกจะต้องเขียนเป็นจุดก่อน (ให้ค่า x อยู่บนแกนนอน ค่า y อยู่บนแกนตั้ง) แล้วขั้นต่อไปก็พิจารณาว่าจุดเหล่านั้น เรียงตัวกันแล้วมีแนวโน้มเป็นสมการชนิดใด ลักษณะการเขียนกราฟเช่นนี้ เรียกว่า “แผนภาพการกระจาย” เช่น
แต่ในบางครั้งการพิจารณาแผนภาพการกระจาย ไม่สามารถบอกได้แน่นอนว่า ความสัมพันธ์นั้นเป็นแบบใดเพราะลักษณะการกระจายนั้นไม่เข้าลักษณะใดใน 3 ลักษณะเลย หรือลักษณะการกระจายนั้นอาจจะใกล้เคียงกับรูปแบบ 2 รูปแบบ หากเกิดกรณีเช่นนี้การสร้างความสัมพันธ์ให้เป็นแบบใดนั้นก็จะขึ้นอยู่กับความชำนาญของผู้สร้าง แต่ในระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย แล้วส่วนมากโจทย์จะสั่งมาเลยว่าให้เราสร้างความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันแบบใด
เมื่อทราบถึงรูปแบบความสัมพันธ์ของฟังก์ชัน จากการสร้างแผนภาพการกระจายแล้ว ขั้นต่อไปก็ต้องหาสมการของความสัมพันธ์ดังกล่าว ซึ่งการหานั้นต้องหาจากรูปทั่วไปของแต่ละสมการ เช่น ถ้ารู้ว่าความสัมพันธ์ของข้อมูลเป็นแบบเส้นตรง ก็ต้องหาสมการจากรูป y = mx + c เป็นต้น และตามหลักของการแก้สมการ
ดังนั้นหากสมการรูปทั่วไปมีค่าคงตัว 2 ตัว (เช่น m และ c จากสมการเส้นตรง) เราก็ต้องสร้างสมการรองรับ 2 สมการ และวิธีการสร้างสมการรองรับนี้จะสร้างโดยอาศัย “ระเบียบวิธีกำลังสองน้อยที่สุด” (รายละเอียดของวิธีกำลังสองน้อยที่สุด ต้องใช้ความรู้คณิตศาสตร์ชั้นสูง ในระดับชั้นนี้ให้นำผลไปใช้โดยไม่จำเป็นต้องทราบที่มา) และสมการรองรับที่ถูกสร้างขึ้นมานี้ เรียกว่า “สมการปกติ” ฉะนั้นจึงสรุปได้ว่า
สมการปกติ คือ สมการที่ถูกสร้างขึ้นมา เพื่อให้สามารถแก้สมการหาค่าคงตัว จากสมการรูปทั่วไปของความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันในรูปแบบต่าง ๆ ได้
สนใจ
1. ถ้า “ค่าคงตัวที่ต้องการหา” มี k ตัว ต้องสร้างสมการปกติขึ้น k สมการด้วย
2. และโดยปกติแล้ว
สมการเส้นตรง จะมีสมการปกติ 2 สมการ
สมการพาราโบลา จะมีสมการปกติ 3 สมการ
สมการเอ็กซ์โพเนนเชียล จะมีสมการปกติ 2 สมการ
และต่อไปนี้ก็จะกล่าวถึง สมการปกติของสมการเส้นตรง[4] สมการพาราโบลา สมการเอ็กซ์โพเนน-เชียล [5] [6]ซึ่งสมการปกติของสมการใหญ่จะไม่เหมือนกันเลย เพราะรูปทั่วไปของแต่ละสมการไม่เหมือนกันนั่นเอง และในตอนท้ายของกลุ่มสมการปกติก็จะอธิบายเทคนิคง่าย ๆ (ในการสร้างปกติจริง ๆ แล้ว ต้องใช้ระเบียบวิธีกำลังสองน้อยที่สุด ซึ่งจะค่อนข้างยุ่งยากและสลับซับซ้อนสำหรับนักเรียนระดับชั้นมัธยมศึกษาตอนปลาย และเทคนิคที่เสนอให้เพื่อหาสมการปกตินั้นไม่ใช่กระบวนการของระเบียบวิธีกำลังสองน้อยที่สุด)
การประมาณค่าของค่าคงตัวโดยใช้วิธีกำลังสองน้อยสุด
เมื่อทราบถึงรูปแบบของความสัมพันธ์เชิงฟังก็ชันของข้อมูลจากการสร้าแผนภาพการกระจายของข้อมูลว่าควรอยู่ในรูป
แบบใด เช่น รูปเส้นตรง รูปพาราโบลา หรือรูปเอกซ์โพเนนเชียลแล้วขั้นต่อไปก็คือการหาสมการของความสัมพันธ์ โดยเริ่มจาก
สมการทั่วไปรูปใดรูปหนึ่งคือ Y = a + bX, Y = a + bX+ cX2 หรือ Y = abXแล้วประมาณค่าของค่าคงตัวในสมการที่เลือก เมื่อทราบค่าคงตัวแล้ว จึงสามารถนำไปใช้ในการพยากรณ์ค่าตัวแปรตามเมื่อทราบหรือกำหนดค่าตัวแปรอิสระได้
ในการหาค่าคงตัวที่ปรากฏอยู่มนสมการทั่วไปนั้น หาได้โดยอาศัยหลักที่ว่า ถ้าจะให้สมการของความสัมพันธ์ที่สร้างขึ้นสามารถใช้แทนความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้นได้ดีแล้ว ผลรวมจองความแตกต่างระหว่างค่าที่ได้จากความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่สร้างขึ้นกับค่าที่เกิดขึ้นจริงทุก ๆ ค่าควรจะน้อยที่สุด แต่เนื่องจากความแตกต่างระหว่างค่าที่ได้จากความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันแต่ละค่ากับค่าที่เกิดขึ้นจริงอาจมีค่าเป็นบวกบ้าง ลบบ้าง ขึ้นอยู่กับแต่ละค่าของความสัมพันธ์กับค่าที่เกิดขึ้นจริงว่าค่าใดจะมากกว่ากัน ท้าให้ผลรวมของความแตกต่างดังกล่าวอาจจะหักล้างกันหมดพอดี
ดังนั้นผลรวมของความแตกต่างที่เกิดขึ้นเป็นศูนย์ซึ่งไม่ตรงกับความจริง เพราะความแตกต่างที่เกิดขึ้นระหว่างค่าจากความสัมพันธ์และค่าที่เกิดขึ้นจริงไม่ว่าจะมากกว่าหรือน้อยกว่าจะเป็นความแตกต่างซึ่งถือว่าเป็นความคลาดเคลื่อนที่เกิดขึ้นหมดไปได้ ดังนั้น เพื่อที่จะไม่ให้ผลรวมของความแตกต่างที่เกิดขึ้นเป็นศูนย์
