จำนวนจริง-สัจพจน์ของความบริบูรณ์

     สัจพจน์ความบริบูรณ์ หรือ สัจพจน์การมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด (Least upper bound axiom)

              บทนิยาม        ถ้า S เป็นสับเซตของ R

                S จะมีขอบเขตบนก็ต่อเมื่อ มีจำนวนจริง a ที่ทำให้ x ≤ a

                สำหรับจำนวนจริง x ทุกตัวใน S เรียกจำนวนจริง a นี้ว่า “ขอบเขตบนของ S”

                a จะเป็นขอบเขตบนน้อยสุดของ S ก็ต่อเมื่อ

                1. a เป็นขอบเขตบนของ S

                2. ถ้า b เป็นขอบเขตบนของ S แล้วจะได้ว่า a ≤ b

        • สัจพจน์การมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด

       ถ้า S เป็นสับเซตของ R โดยที่ S ≠ Ø และ S มีขอบเขตบนแล้ว S จะมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด

     ตัวอย่างที่ 1           ให้ S เท่ากับช่วงปิด [1, 8 ]

                จะได้ว่า 8 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 8 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 8

     ตัวอย่างที่ 2           ให้ S เท่ากับช่วงเปิด (2, 5)

                จะได้ว่า 5 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 5 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 5

     ตัวอย่างที่ 3           ให้ S = {1, 0, 3, 15, 4}

                จะได้ว่า 5 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 15 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 15

     ตัวอย่างที่ 4           ให้ S = [-3, ∞]

                จะได้ว่า S ไม่มีขอบเขตบน

     ตัวอย่างที่ 5           ให้ S ≠ Ø

                จะได้ว่า จำนวนจริงทุกจำนวนเป็นค่าขอบเขตบนของ S ดังนั้นเซตว่างจึงไม่มีขอบเขตบนน้อยสุด