จำนวนเฉพาะ (Prime Number)

จำนวนเฉพาะ (Prime Number) หมายถึง จำนวนนับที่มีตัวประกอบเพียงสองตัวเท่านั้น คือ 1 และตัวมันเอง

จำนวนเฉพาะที่มีค่าน้อยที่สุดคือ 2 เนื่องจาก 2 มีตัวประกอบ 2 ตัว คือ 1 และ 2 ดังนั้น 2 จึงเป็นจำนวนเฉพาะ แต่ 1 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ เนื่องจาก 1 มี ตัวประกอบเพียง 1 ตัว คือ 1

ตัวประกอบเฉพาะ (Prime factor) หมายถึง ตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะของจำนวนนับใด ๆ เช่น ตัวประกอบของ 36 คือ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 และ 36 แต่ตัวประกอบเฉพาะของ 36 คือ 2 และ 3 เท่านั้น

เอราทอสเทนีส แห่ง ไซรีนี (Eratosthenes of Cyrene) เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก ซึ่งมีชีวิตอยู่ประมาณ 276 – 194 ปี ก่อนคริสต์ศักราช ได้คิดวิธีหาจำนวนเฉพาะที่อยู่ระหว่าง 1 กับจำนวนนับที่กำหนดให้ โดยตัดจำนวนที่ ไม่ใช่จำนวนเฉพาะทิ้ง วิธีการนี้เรียกว่า “ตะแกรงของเอราทอสเทนีส”(Sieve of Ertosthenes) ตัวอย่างการใช้ตะแกรง ของเอราทอสเทนีส ในการหาจำนวนเฉพาะระหว่าง 1 ถึง 100 มีขั้นตอนดังนี้

1. เขียนจำนวนนับตามลำดับตั้งแต่ 1 ถึง 100

2. ขีดฆ่า 1 ทิ้ง เนื่องจาก 1 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ (ด้านล่าง)

3. วง 2 ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะจำนวนแรก ขีดฆ่าทุก ๆ จำนวนที่ 2 หารลงตัว

4. วง 3 ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะจำนวนถัดไป ต่อจากนั้น ขีดฆ่าทุก ๆ จำนวนที่ 3 หารลงตัว

5. วง 5 ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะ ต่อจากนั้นนับ ขีดฆ่าทุก ๆ จำนวนที่ 5 หารลงตัว

6. วง 7 ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะ ต่อจากนั้นนับ ขีดฆ่าทุก ๆ จำนวนที่ 7 หารลงตัว

7. วงกลมล้อมรอบจำนวนที่ไม่ถูกขีดฆ่า นั่นคือจำนวนเฉพาะ

แสดงจำนวนเฉพาะที่มีค่าตั้งแต่1 ถึง 100 โดยใช้ตะแกรงเอราทอสเทนีส

นั่นคือจำนวนเฉพาะ ซึ่งมีทั้งหมด 25 จำนวน

ได้แก่ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 และ 97

จากวิธีการของเอราทอสเทนีส มาจากหลักการที่กล่าวว่า “ ในการหาจำนวนเฉพาะระหว่าง 1 ถึง n ให้ใช้ จำนวนเฉพาะทุกจำนวนที่เมื่อคูณด้วยตัวของมันเองแล้วผลคูณที่ได้ไม่เกิน n มาเป็นตัวขีดฆ่าจำนวนอื่น ๆ ” ในที่นี้ n คือ 100

ดังนั้น จำนวนเฉพาะที่นำมาใช้คือ 2 , 3, 5 และ 7 เท่านั้น (เนื่องจากจำนวนเฉพาะจำนวนถัดไปคือ 11 แต่ 11 x 11 = 121 ซึ่งมีค่ามากกว่า 100 จึงไม่นำมาเป็นตัวขีดฆ่า)

วิธีการตรวจสอบจำนวนใด ๆ ว่าเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่

ให้ใช้วิธีการต่อไปนี้

ขั้นที่ 1 หาจำนวนเฉพาะทุกจำนวนที่เมื่อคูณตัวมันเองแล้ว ผลคูณที่ได้ไม่เกินจำนวนนั้น

ขั้นที่ 2 นำจำนวนเฉพาะที่ได้ในขั้นที่ 1 ไปหารจำนวนนั้น เพื่อดูว่าหารลงตัวหรือไม่ ถ้าจำนวนนั้นถูกหารได้ ลง ตัวด้วยจำนวนเฉพาะจำนวนใดก็ตาม จำนวนนั้นจะไม่ใช่จำนวนเฉพาะ แต่ถ้าจำนวนเฉพาะในขั้นที่ 1 ทุกจำนวน ไม่สามารถหารจำนวนนั้นได้ลงตัว แสดงว่าจำนวนนั้นเป็นจำนวนเฉพาะ

ตัวอย่างที่ 1 97 เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่

วิธีตรวจสอบ

ขั้นที่ 1 หาจำนวนเฉพาะทุกจำนวนที่เมื่อคูณตัวมันเองแล้ว ผลคูณที่ได้ไม่เกิน 97 ได้แก่ 2 , 3 , 5 และ 7

ขั้นที่ 2 นำจำนวนเฉพาะที่ได้ในขั้นที่ 1 คือ 2 , 3 , 5 และ 7 ไปหาร 97 ทีละจำนวน ปรากฏว่าไม่มีจำนวน เฉพาะใดหาร 97 ได้ลงตัว

ดังนั้น 97 เป็นจำนวนเฉพาะ ตอบ.

ตัวอย่างที่ 2 123 เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่

วิธีตรวจสอบ

ขั้นที่ 1 หาจำนวนเฉพาะทุกจำนวนที่เมื่อคูณตัวมันเองแล้ว ผลคูณที่ได้ไม่เกิน 123 ได้แก่ 2 , 3 , 5 , 7 และ 11

ขั้นที่ 2 นำจำนวนเฉพาะที่ได้ในขั้นที่ 1 คือ 2 , 3 , 5 , 7 และ 11 ไปหาร 123 ทีละจำนวน ปรากฏว่า สามารถนำ 3 มาหาร 123 ได้ลงตัว

ดังนั้น 123 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ ตอบ.

ตัวอย่างที่ 3 จงหาตัวประกอบ และ ตัวประกอบเฉพาะ ของ 42

ตัวประกอบ ของ 42 คือ 1 ,2 3, 6, 7, 14, 21 และ 42