จำนวนเชิงซ้อน(complex numbers) สูตร

จำนวนเชิงซ้อน ( COMPLEX NUMBER )

ในหัวข้อ จำนวนเชิงซ้อน นี้จะอธิบายถึงพื้นฐานของจำนวนเชิงซ้อน การประยุกต์ใช้จำนวนเชิงซ้อน และกระบวนการต่าง ๆ ที่ใช้สำหรับ จำนวนเชิงซ้อน ซึ่งหัวใจของบทนี้ คือ การเข้าใจหน่วยจินตภาพ ( Imaginary Unit )

ในทางคณิตศาสตร์ จำนวนจินตภาพ ( imaginary number) เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่สามารถเขียนเป็นจำนวนจริงคูณด้วยหน่วยจินตภาพ^] ซึ่งกำหนดให้ i² = −1

นิยาม จำนวนเชิงซ้อน คือ คู่อันดับ (a,b) เมื่อ a และ b นั้นเป็นสมาชิกของจำนวนจริงซึ่งการบวก การคูณและการเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อนนั้นกำหนดดังนี้

กำหนดให้ a,b,c,d เป็นจำนวนจริงใดๆ

1)(a,b)=(c,d)(a,b)=(c,d)  ก็ต่อเมื่อ a=ca=c  และ b=db=d

2)(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)

3)(a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)

นี่คือนิยามเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน และข้อกำหนดเกี่ยวกับการคูณการบวก การเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อนซึ่งเราจำเป็นต้องจำให้ได้

– การสร้างจำนวนเชิงซ้อน (Construction of Complex Numbers )

จากการที่กล่าวข้างต้นว่า   สมการพหุนาม X² + 1 = 0ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง   แต่นักคณิตศาสตร์ต้องการสร้างระบบจำนวนซึ่งขยายออกไปเพื่อให้สามารถครอบคลุมทุกคำตอบของสมการพหุนามทั้งหมดได้   ดังนั้นจึงจะพิจารณาเซตที่มีจำนวนจริงเป็นสับเซต

บทนิยาม   จำนวนเชิงซ้อน  คือ คู่อันดับ (a , b) เมื่อ a  และ b เป็นจำนวนจริงและกำหนดการเท่ากัน   การบวกและการคูณของจำนวนเชิงซ้อน ดังนี้

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน (a, b) และ (c, d)

1.   การเท่ากัน

(a , b) = (c, d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ   b = d

2.   การบวก

(a, b) + (c, d) = (a + c , b + d)

3.   การคูณ

(a, b) *(c, d) = (ac-bd , ab + bc)

เราอาจแทน   ด้วย  (a, b)(c, d) ก็ได้

เซตของจำนวนเชิงซ้อนแทนด้วยสัญลักษณ์ C

. จำนวนเชิงซ้อน คือ คู่อันดับ (a,b) เมื่อ a และ b นั้นเป็นสมาชิกของจำนวนจริงซึ่งการบวก การคูณและการเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อนนั้นกำหนดดังนี้

กำหนดให้ a,b,c,d เป็นจำนวนจริงใดๆ

1) (a,b)=(c,d)(a,b)=(c,d) ก็ต่อเมื่อ a=ca=c และ b=db=d

2) (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)

3) (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)

2. กำหนดจำนวนเชิงซ้อน z=(a,b) เมื่อ a,b เป็นจำนวนจริง

เรียก a ว่าส่วนจริง (real part) เขียนแทนด้วย Re(z)

เรียก b ว่าส่วนจินตภาพ (imaginary part) เขียนแทนด้วย Im(z)

หมายเหตุ : เนื่องจากจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ ที่อยู่ในรูปคู่อันดับ (a,b)(a,b) สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ a+bia+bi ได้ ดังนั้น จึงนิยมเขียนจำนวนเชิงซ้อนให้อยู่ในรูปของ a+bi เพราะสะดวกในการนำไปใช้มากกว่า โดย

เรียก aa ว่า ส่วนจริง (Real part)

เรียก bb ว่า ส่วนจินตภาพ (Imaginary part)

ส่วนการบวก การลบ การคูณ ของจำนวนเชิงซ้อนที่อยู่ในรูปของ a+bia+bi ก็จะเหมือนกับการบวก ลบ คูณหารพหุนามทั่วไป

ทฤษฏีบทของเดอร์มัวร์ (De Moivre’s Theorem)

ถ้า z=r(cosθ+isinθ)z=r(cosθ+isinθ) เป็นจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว และ n∈In∈I

จะได้ว่า

zn=rn(cos(nθ)+isin(nθ))zn=rn(cos(nθ)+isin(nθ))

ตัวอย่าง กำหนดจำนวนเชิงซ้อน z1=(4,3) และ z2=(2,5)z1=(4,3) และ z2=(2,5) จงหา z1+z2,z1⋅z2z1+z2,z1⋅z2

วิธีทำ การทำข้อนี้ก็ทำตามข้อกำหนดในนิยามเลยคับ

z1+z2=(4,3)+(2,5)=(4+2,3+5)=(6,8)z1+z2=(4,3)+(2,5)=(4+2,3+5)=(6,8)

z1⋅z2z1⋅z2

เริ่มหากันเลยคูณกันตามนิยามเลยครับ

นี่คือการบวกและการคูณกันของจำนวนเชิงซ้อนซึ่งไม่ยากทำตามนิยามได้เลยคับ

ต่อไปมาดูนิยามเพิ่มเติมของจำนวนเชิงซ้อน