ทฤษฎีจำนวน (Number Theory)

ตัวอย่างผลงาน เช่น ทฤษฎีบทปีทาโกรัส การค้นพบจำนวนอตรรยะ สมบัติของจำนวนบาง ประเภท จำนวนเชิงรูปภาพ เป็นต้น ปีทาโกรัสมีความเชื่อและสั่งสอนศิษย์ว่า “ทุกสรรพสิ่งแทนได้ด้วย จำนวน” (All is number) (คำว่าจำนวน หมายถึง จำนวนตรรกยะบวกและศูนย์เท่านั้น)
ในการศึกษาจำนวนในสมัยของปีทาโกรัสได้นำความมหัศจรรย์ของจำนวนไปผูกพันกับความเชื่อโชคลาง โหราศาสตร์และราศี เช่น จำนวนเชิงมิตร (amicable numbers) คู่แรกที่เชื่อว่าพบ
ในสมัยนั้น คือ 220 กับ 284 มีสมบัติพิเศษคือ ผลบวกของตัวหารแท้ของจำนวนหนึ่งเท่ากับอีกจำนวนหนึ่ง นั่นคือ ตัวหารแท้ของ 220 ได้แก่ 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 และ 110
มีผลบวกเป็น 284 ตัวหารแท้ของ 284 ได้แก่ 1, 2, 4, 71 และ 142 มีผลบวกเป็น 220โดยผู้ที่เชื่อเรื่องโชคลางจะจารึกตัวเลขลงในเครื่องราง ของขลังโดยเชื่อว่าคนคู่ใดห้อยของขลัง
ที่จารึกตัวเลขดังกล่าวจะเป็นมิตรแท้ต่อกัน ต่อมาก็มีการค้นพบจำนวนเชิงมิตรเพิ่มขึ้นและในปัจจุบันโดยการใช้คอมพิวเตอร์ในการค้นหาจำนวนเชิงมิตร เมื่อปี ค.ศ.2004 พบว่ามีทั้งหมด 6, 262, 871 คู่ หรืออีกตัวอย่างหนึ่งเกี่ยวกับความเชื่อในความ มหัศจรรย์ของจำนวน คือ จำนวนสมบูรณ์ (perfect number) เป็นเป็นจำนวนที่มีสมบัติพิเศษคือ ผลบวกของตัวหารแท้ ทั้งหมดของจำนวนนั้นเท่ากับจำนวนนั้น เช่น 6 เป็นจำนวนสมบูรณ์ เพราะว่า มี1, 2 และ 3
เป็นตัวหารแท้ของ 6 ซึ่ง 1 + 2 + 3 = 6
ด้วยความง่ายในการเข้าถึงปัญหาและความงดงามของการแก้ปัญหาด้านทฤษฎีจำนวน จงทำให้เกิดการสานต่องานของศาสตร์สาขานี้เป็นไปอย่างต่อเนื่อง โดยต่อมาประมาณ 300 ปี
ก่อนคริสต์ศักราช ยุคลิด (Euclid) นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก เกิดที่เมืองอเล็กซานเดรีย ประเทศ อียิปต์เป็นศาสตราจารย์และหัวหน้าภาควิชาคณิตศาสตร์คนแรกที่มหาวิทยาลัยอเล็กซานเดรีย
ซึ่งเป็นมหาวิทยาลัยแห่งแรกของโลก ได้ศึกษาเกี่ยวกับทฤษฎีจำนวน โดยมีการเขียนหนังสือ ตีพิมพ์ซึ่งเป็นการรวบรวมผลงานการศึกษาของนักคณิตศาสตร์ในอดีต และรวมสิ่งที่ตนเองได้
ศึกษาค้นคว้าในชุดหนังสือ the elements จำนวน 13 เล่ม ซึ่งจำนวน 3 เล่ม ที่มีเนื้อหาเกี่ยว ข้องกับทฤษฎีจำนวน คือ เล่ม 7 กล่าวถึง จำนวนคู่ จำนวนคี่ จำนวนเฉพาะ จำนวนประกอบ

จำนวนสมบูรณ์ ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิด ส่วนเล่ม 8 กล่าวถึง สัดส่วนต่อเนื่อง และความสัมพันธ์ ของสัดส่วนต่อเนื่องกับเรขาคณิต และเล่ม 9 กล่าวถึง ทฤษฎีบทที่พิสูจน์ว่าจำนวนเฉพาะมี เป็นอนันต์
ยุคลิดแห่งอเล็กซานเดรีย
ผู้มีผลงานชุด the elements องค์ความรู้ด้านทฤษฎีจำนวนที่ยุคลิดได้
รวบรวมในยุคนั้น ทั้ง 3 เล่มโดยเฉพาะ จำนวน เต็มคี่ จำนวนเต็มคู่ จำนวนเฉพาะ ขั้นตอนวิธีแบบ ยุคลิด ตัวหารร่วมมาก ตัวคูณร่วมน้อย ยังคง เป็นทฤษฎีบทสำคัญที่จำเป็นต้องเรียนรู้ และนำ
ไปใช้ในงานคณิตศาสตร์ในปัจจุบัน

หลังยุคของยุคลิด ทฤษฎีจำนวนได้พัฒนาไปอย่างต่อเนื่องพร้อมกับการพัฒนาการของคณิตศาสตร์สาขาอื่นๆ ด้วยการต่อยอดองค์ความรู้ของนักทฤษฎีจำนวนหลายท่าน อาทิ
เอราโตสเทเนส
ผู้คิดวิธีการหาจำนวนเฉพาะเอราโตสเทเนส แห่งไซรีน (Eratosthenes of Cyrene, 276 − 194 ปี ก่อน ปี ค.ศ.) นักคณิตศาสตร์ ชาวกรีกและ ปราชญ์บรรณารักษ์แห่งห้องสมุดอะเล็กซานเดรีย ผู้คิดวิธีการหาจำนวนเฉพาะจากจำนวนนับ
ตั้งแต่ 1 ถึง n ด้วยวิธีการตัดจำนวนนับที่ ไม่เป็นจำนวนเฉพาะทิ้ง
เรียกว่า “ตะแกรงของเอราโตสเทเนส” (T he Sieve of Eratosthenes)

ไดโอแฟนตัส แห่งอะเล็กซานเดรีย
(Diophantus of Alexandria, ค.ศ. 200 − 284) เป็นชาวกรีก ได้ตีพิมพ์หนังสือจำนวน 13 เล่ม และ
สามารถแก้สมการทางพีชคณิตที่มีตัวแปรไม่ทราบค่า สองตัวแปรหรือสามตัวแปรที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวน
เต็มได้ โดยมีผลเฉลยเป็นจำนวนเต็ม ซึ่งเรียกสมการ เหล่านี้ว่า สมการไดโอแฟนไทน์ (Diophantine equation) เพื่อให้เป็นเกียรติแก่ไดโอแฟนตัส เป็นต้น

เลโอนาร์โด ฟีโบนักชี (Leonardo F ibonacci, ค.ศ. 1170 − 1250 ) หรือ เลโอนาร์โดแห่งปิชา เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี มีชื่อเสียงโด่งดังที่สุดจากการค้นพบลำดับฟีโบนักชี
ซึ่งนับเป็นลำดับมหัศจรรย์ที่สอดประสานได้ลงตัวกับ ปรากฏการณ์ต่าง ๆ ทางธรรมชาติและมีบทบาทใน การเผยแพร่การเขียนและวิธีการคำนวณระบบจำนวน
ฐานสิบที่ให้ค่าตามหลักแบบอาราบิก (Arabic positional decimal system) ที่ใช้กัน ในปัจจุบัน หลายคนยกย่องว่าเขาเป็นนักคณิตศาสตร์ ที่เก่งที่สุดในยุคกลาง

ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น (Number Theory)