บทที่ 2 ตรรกศาสตร์-เนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.4-ม.5-ม.6

เนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.4-ม.5-ม.6

บทที่ 2 ตรรกศาสตร์

• ประพจน์
• การเชื่อมประพจน์
• การหาค่าความจริงของประพจน์
• การสมมูลและนิเสธของประพจน์
• สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
• ตัวบ่งปริมาณและประโยคเปิด

ประพจน์

“ตรรกศาสตร์” คือระบบวิชาความรู้ที่เกี่ยวข้องกับความคิดและการให้เหตุผล ใช้เป็นเครื่องมือในการเข้าถึงหลักปรัชญาต่างๆ และเป็นพื้นฐานในหลายๆสาขาวิชา และสำหรับวิชาคณิตศาสตร์ น้องๆจะได้เรียนตรรกศาสตร์ในเป็นรูปแบบและกฎเกณฑ์ีการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Logic)  ไม่ว่าจะเป็น “และ” “หรือ” “ถ้า..แล้ว” “ก็ต่อเมื่อ” และนิเสธ นอกจากนี้ หลักตรรกศาสตร์จะใช้สำหรับการพิสูจน์ทฤษฎีต่างๆ

หมายเหตุ : ข้อสังเกตจากตาราง
1. p Λ q จะมีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นจริงทั้งคู่
p Λ q จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อ p หรือ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ
อย่างน้อยหนึ่งประพจน์
2. p ∨ q จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จทั้งคู่
p ∨ q จะมีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ p หรือ q มีค่าความจริงเป็นจริง
อย่างน้อยหนึ่งประพจน์
3. p → q จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อ p มีค่าความจริงเป็นจริง และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ
p → q จะมีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ p มีค่าความจริงเป็นเท็จ
p → q จะมีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ q มีค่าความจริงเป็นจริง
4. p ↔ q จะมีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเหมือนกัน
p ↔ q จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อ p และ q มีค่าความจริงต่างกัน

กำหนดให้ p แทน 2 เป็นจ านวนคู่
q แทน 2 เป็นจ านวนเฉพาะ
r แทน 2 เป็นจ านวนอตรรกยะ
จงหาค่าความจริงของประพจน์ในแต่ละข้อต่อไปนี้
(1) p Λ q (2) p Λ r
(3) ~q Λ r (4) p ∨ q
(5) p ∨ r (6) q ∨ ~r
(7) p→ ~q (8) p → r
(9) q → r (10) ~r → p
(11) p ↔ q (12) ~q ↔ r
ตัวอย่าง 2 ก าหนดประพจน์ให้ต่อไปนี้
p แทน Ø เป็นเซตจำกัด
q แทน Ø เป็นสับเซตแท้ของทุกเซต
r แทน P(Ø) = {Ø}
s แทน Ø υ A = Ø
จงหาค่าความจริงของประพจน์ในแต่ละข้อต่อไปนี้
(1) (pΛ q) → r

(2) (p ∨ r) Λ (q ∨ r)

(3) ~s Λ (r ∨ ~q)

(4) (p → ~r) ↔ (~s Λ q)

(5) ~ p → (q → (~ r ↔ s))

(6) (q ∨ ~ p)↔ (r → ~ s)

การเชื่อมประพจน์

โดยปกติเมื่อกล่าวถึงข้อความหรือประโยคนั้นมักจะมีกริยามากกว่าหนึ่งตัว แสดงว่าได้นำประโยคมาเชื่อมกัน มากกว่าหนึ่งประโยค ดังนั้นถ้านำประพจน์มาเชื่อมกัน ก็จะได้ประพจน์ใหม่ ซึ่งสามารถบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จ ตัวเชื่อมประพจน์มีอยู่ 5 ตัว และตัวเชื่อมที่ใช้กันมากในตรรกศาสตร์คือ และ หรือ ถ้า…แล้ว ก็ต่อเมื่อ  ไม่

1. ตัวเชื่อมประพจน์ “และ”
   การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ “และ” สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ∧ q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นจริง (T) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F)
2. ตัวเชื่อมประพจน์ “หรือ”
   การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ “หรือ” สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ∨q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T)
3. ตัวเชื่อมประพจน์ “ถ้า…แล้ว”
   การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ “ถ้า…แล้ว” สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p → q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p เป็นจริง (T) และ q เป็นเท็จ (F) นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T)
4. ตัวเชื่อมประพจน์ “ก็ต่อเมื่อ”
   การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ “ก็ต่อเมื่อ” สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ⇔ q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงกัน และจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงข้ามกัน
5. นิเสธของประพจน์ “ไม่”
   นิเสธของประพจน์ใดๆ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามกับประพจน์นั้นๆ และสามารถเขียนแทนนิเสธของ p ได้ด้วย ~p

สัจนิรันดร์

สัจจะ แปลว่าจริง ส่วนนิรันดร์ แปลว่าตลอดกาล ประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง ทุกกรณีของประพจน์ย่อย

ประโยคเปิด (Open Sentence)

คือข้อความที่อยู่ในรูปประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธ ที่มีตัวแปรและสื่อแทนค่าของตัวแปรนั้น จะได้ค่าความจริงแน่นอน หรือเป็นประพจน์ นิยมใช้สัญลักษณ์ P(x), P(x , y), Q(x , y) แทนประโยคเปิดที่มีตัวแปรระบุในวงเล็บ

ตัวบ่งปริมาณ (∀,∃)

ตัวบ่งปริมาณ เป็นตัวระบุจำนวนสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ประโยคเปิดกลายเป็นประพจน์ ตัวบ่งปริมาณมี 2 ชนิด คือ

1. ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึง “สมาชิกทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์”  ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ “∀” อ่านว่า”สำหรับสมาชิก x ทุกตัว”
2. ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึง “สมาชิกบางตัวในเอกภพสัมพัทธ์” ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ “∃” อ่านว่า “สำหรับสมาชิก x บางตัว”

ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ

1. ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ x ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ทำให้ P(x) เป็นจริง
2. ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อมี x อย่างน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นเท็จ
3. ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อมี x อย่าน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นจริง
4. ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อไม่มี x ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ P(x) เป็นจริง

นิเสธของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ

~∀x[P(x)] สมมูลกับ ∃x[~P(x)]

~∃x[P(x)] สมมูลกับ∀x[~P(x)]

~∀x[~P(x)] สมมูลกับ∃x[P(x)]

~∃x[~P(x)] สมมูลกับ∀x[P(x)]