ตรรกศาสตร์-ประเภทของประพจน์
ประเภทของประพจน์
ประพจน์แบ่งได้เป็น 2 ประเภท คือ ประพจน์เชิงเดี่ยว และประพจน์เชิงประกอบ
ประพจน์เชิงเดี่ยว (simple proposition)
เป็นประพจน์ที่มีประธานและกริยาอย่างละเพียง ตัวเดียว เช่น
1) นกมีปีก
2) ดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก
3) Z เป็นพยัญชนะตัวสุดท้ายในภาษาอังกฤษ
4) นายก้องเกียรติเรียนอยู่ที่มหาวิทยาลัย
ประพจน์เชิงประกอบ (compound proposition)
เป็นประพจน์ที่เกิดจากการน าประพจน์เชิงเดี่ยวมาเชื่อมกันด้วยตัวเชื่อม
ต่าง ๆ เพื่อให้เกิดประพจน์ใหม่ที่มีความหมายต่อเนื่องกันหรือมีความหมาย
แตกต่างกันไปเช่น
1) ดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออกและตกทางทิศตะวันตก
2) สมชายจะไปดูภาพยนตร์หรือไปเล่นกีฬา
ประพจน์ ข้อความหรือประโยคที่มีค่าความจริง(T)หรือเท็จ(F) อย่างใดอย่างหนึ่ง ส่วนข้อความรูป คำสั่ง คำขอร้อง คำอุทาน คำปฏิเสธ ซึ่งไม่อยู่ในรูปของประโยคบอกเล่า จะเป็นข้อความที่ไม่เป็นประพจน์ สำหรับข้อความบอกเล่าแต่มีตัวแปรอยู่ด้วย ไม่สามารถบอกว่าเป็นจริงหรือเท็จจะไม่เป็นประพจน์ เรียกว่าประโยคเปิด
ประโยคที่มีค่าความจริงไม่แน่นอน หรือไม่อาจระบุได้ว่ามีค่าความจริงเป็นจริงหรือเป็นเท็จได้ ไม่เป็นประพจน์
โดยปกติเมื่อกล่าวถึงข้อความหรือประโยคนั้นมักจะมีกริยามากกว่าหนึ่งตัว แสดงว่าได้นำประโยคมาเชื่อมกัน มากกว่าหนึ่งประโยค ดังนั้นถ้านำประพจน์มาเชื่อมกัน ก็จะได้ประพจน์ใหม่ ซึ่งสามารถบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จ ตัวเชื่อมประพจน์มีอยู่ 5 ตัว และตัวเชื่อมที่ใช้กันมากในตรรกศาสตร์คือ และ หรือ ถ้า…แล้ว ก็ต่อเมื่อ ไม่
1. ตัวเชื่อมประพจน์ “และ”
การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ “และ” สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ∧ q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นจริง (T) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F)
2. ตัวเชื่อมประพจน์ “หรือ”
การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ “หรือ” สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ∨q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T)
3. ตัวเชื่อมประพจน์ “ถ้า…แล้ว”
การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ “ถ้า…แล้ว” สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p → q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p เป็นจริง (T) และ q เป็นเท็จ (F) นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T)
4. ตัวเชื่อมประพจน์ “ก็ต่อเมื่อ”
การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ “ก็ต่อเมื่อ” สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ⇔ q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงกัน และจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงข้ามกัน
5. นิเสธของประพจน์ “ไม่” นิเสธของประพจน์ใดๆ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามกับประพจน์นั้นๆ และสามารถเขียนแทนนิเสธของ p ได้ด้วย ~p
ประพจน์ 2 ประพจน์จะสมมูลกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงเหมือนกัน ทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย
การทดสอบว่าประพจน์ 2 ประพจน์ สมมูลกัน ทำได้ 2 วิธีคือ
1. สร้างตารางแจกแจงค่าความจริง ค่าความจริงต้องตรงกันทุกกรณี
2. โดยการใช้หลักความจริงและประพจน์ที่สมมูลกันแบบง่ยๆที่ควรจำ เพื่อแปลงรูปประพจน์ไปเป็นแบบเดียวกัน
ตัวอย่างประพจน์ที่สมมูลกันที่ควรทราบ มีดังนี้
p ∧ q สมมูลกับ q ∧ p
p ∨ q สมมูลกับ q ∨ p
(p ∧ q) ∧ r สมมูลกับ p ∧ (q ∧ r)
(p ∨ q) ∨ r สมมูลกับ p ∨ (q ∨ r)
p ∧ (q ∨ r) สมมูลกับ (p ∧ q) ∨ ( p ∧ r)
p ∨ (q ∧ r) สมมูลกับ (p ∨ q) ∧ ( p ∨ r)
p → q สมมูลกับ ~p ∨ q
p → q สมมูลกับ ~q → ~p
p ⇔ q สมมูลกับ (p → q) ∧ (q → p)
สัจนิรันดร์
สัจจะ แปลว่าจริง ส่วนนิรันดร์ แปลว่าตลอดกาล ประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง ทุกกรณีของประพจน์ย่อย
คือข้อความที่อยู่ในรูปประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธ ที่มีตัวแปรและสื่อแทนค่าของตัวแปรนั้น จะได้ค่าความจริงแน่นอน หรือเป็นประพจน์ นิยมใช้สัญลักษณ์ P(x), P(x , y), Q(x , y) แทนประโยคเปิดที่มีตัวแปรระบุในวงเล็บ
ประโยคเปิดและตัวบ่งปริมาณ
ตัวบ่งปริมาณ เป็นตัวระบุจำนวนสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ประโยคเปิดกลายเป็นประพจน์ ตัวบ่งปริมาณมี 2 ชนิด คือ
1. ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึง “สมาชิกทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์” ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ “∀” อ่านว่า”สำหรับสมาชิก x ทุกตัว”
2. ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึง “สมาชิกบางตัวในเอกภพสัมพัทธ์” ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ “∃” อ่านว่า “สำหรับสมาชิก x บางตัว”
ตัวบ่งปริมาณและค่าความจริงของตัวบ่งปริมาณ
1. ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ x ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ทำให้ P(x) เป็นจริง
2. ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อมี x อย่างน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นเท็จ
3. ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อมี x อย่าน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นจริง
4. ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อไม่มี x ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ P(x) เป็นจริง
นิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ
1. ~∀x[P(x)] สมมูลกับ ∃x[~P(x)]
2. ~∃x[P(x)] สมมูลกับ∀x[~P(x)]
3. ~∀x[~P(x)] สมมูลกับ∃x[P(x)]
4. ~∃x[~P(x)] สมมูลกับ∀x[P(x)]
สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ
พิจารณาประโยคเปิด P(x) → Q(x) กับ ~P(x) Q(x) ไม่ว่าจะแทน x ด้วยสมาชิกใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ จะได้ประพจน์ในรูป p → q และ ~p q ซึ่งสมมูลกัน ต่อไปนี้จะกล่าวว่า P(x) → Q(x) สมมูลกับ ~P(x) Q(x) ด้วย และจะใช้สมมูลของประโยคเปิดเทียบกับรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน เช่น
|
|
จากสมมูลของประโยคเปิดดังกล่าว ถ้าเติมตัวบ่งปริมาณชนิดเดียวกันไว้ข้างหน้าจะได้ประพจน์ที่สมมูลกันด้วย เช่น
∀x[P(x) → Q(x)] | สมมูลกับ | ∀x[~P(x) ~Q(x)] |
∃x[P(x) → Q(x)] | สมมูลกับ | ∃x[~Q(x) → ~P(x)] |
∃x[~(P(x) → Q(x))] | สมมูลกับ | ∃x[P(x) Λ ~Q(x)] |
∀x[~(P(x) ~Q(x))] | สมมูลกับ | ∀x[~P(x) Λ ~Q(x)] |
เนื่องจากประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณเป็นประพจน์ ดังนั้น สามารถเทียบรูปแบบที่สมมูลกับรูปแบบประพจน์ที่สมมูลกันได้เช่น
∀x[P(x)] → ∃x[Q(x)] | สมมูลกับ | ~∀x[P(x)] ∃x[Q(x)] |
∃x[P(x)] → ∃x[Q(x)] | สมมูลกับ | ~∃x[P(x)] ∃x[Q(x)] |
ทั้งสองประโยคที่กล่าวมาเทียบได้กับ p → q ซึ่งสมมูลกับ ~p q นั่นเอง
~(∀x[P(x)] ∃x[Q(x)]) | สมมูลกับ | ~∀x[P(x)] Λ ~∃x[Q(x)] |
เทียบได้กับ ~(p q) ซึ่งสมมูลกับ ~p Λ ~q เป็นต้น
จงหานิเสธของข้อความต่อไปนี้
6.จำนวนตรรกยะทุกจำนวนเป็นจำนวนจริง
ตอบจำนวนตรรกยะบางจำนวนไม่เป็นจำนวนจริง
7.จำนวนเต็มบางจำนวนเป็นจำนวนจริง
ตอบจำนวนเต็มทุกจำนวนไม่เป็นจำนวนจริง
ขอบคุณข้อมูล https://www.dektalent.com/