ฟังก์ชัน 1 – 1 ( One – to – one function )

ฟังก์ชัน 1 – 1 ( One – to – one function )

ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (one to one function)

        นิยาม   f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกๆ , ในโดเมน ถ้า f() = f() แล้ว = f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ f : 1-1

ตัวอย่าง กำหนดฟังก์ชัน f = {(1,0) , (2,1) , (3,-1) , (4,2) , (5,-2)}

                                        f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่

    วิธีทำ  เรนจ์ของ f = {0,1,-1,2,-2}

               จาก f ที่กำหนดให้ แต่ละสมาชิกของเรนจ์ของ f ถูกจับคู่เพียงครั้งเดียวเท่านั้น

    ดังนั้น f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

ในกรณีที่กำหนดฟังก์ชันในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไข การตรวจสอบว่าเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง หรือไม่ มีหลายวิธี เช่น

      1. ให้สมมุติค่า y ที่เป็นสมาชิกในเรนจ์ของฟังก์ชันนั้น 1 ค่า แทนลงในเงื่อนไข แล้วหาค่า x

            – ถ้าได้ค่า x ค่าเดียวเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

            – ถ้าได้ค่า x มากกว่าหนึ่งค่าไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

      2. วาดกราฟของฟังก์ชันนั้น แล้วลากเส้นตรงขนานกับแกน X

            – ถ้าเส้นตรงตัดกราฟเพียงจุดเดียว เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

            – ถ้าเส้นตรงตัดกราฟมากกว่าหนึ่งจุดไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

คณิตศาสตร์มีบทเรียนเรื่องนี้อยู่ด้วย แต่เกรงว่าจะเป็นเรื่องที่ทำให้สับสนจึงไม่ได้เสนอไว้ในบทเรียนนี้

1.ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ที่สมาชิกแต่ละตัวในโดเมนของความสัมพันธ์นั้นไปจับคู่สมาชิกในเรนจ์

เพียงตัวเดียวเท่านั้น

2. ความสัมพันธ์จะไม่เป็นฟังก์ชันก็ต่อเมื่อ มีสมาชิกบางตัวในโดนเมนของความสัมพันธ์นั้นไปจับคู่

สมาชิกในเรนจ์มากกว่าหนึ่งตัว

3. ความสัมพันธ์ที่เป็นฟังก์ชัน จะมีลักษณะการจับคู่ของสมาชิกในโดเมนกับสมาชิกในเรนจ์ 2 แบ

4. ความสัมพันธ์ที่ไม่เป็นฟังก์ชัน จะมีลักษณะการจับคู่ของสมาชิกในโดเมนกับสมาชิกในเรนจ์

ดังนี้ one to many

5. ค่าของฟังก์ชัน f ที่ x

นิยาม ค่าฟังก์ชัน f ที่ x หมายถึง ค่า y ของฟังก์ชัน f ที่ x เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ f(x)

ตัวอย่าง f(1) หมายถึง ค่า y ของฟังก์ชัน f เมื่อ x=1

h(-3) หมายถึง ค่า y ของฟังก์ชัน g เมื่อ x=2

หมายเหตุ

1. ถ้าโจทย์กำหนดว่า f(1) =2 ต้องรู้เองว่า ในฟังก์ชัน f ถ้า x=1 จะได้ y=2 หรือ (1,2) ….f

2. ถ้าโจทย์กำหนด f ={(1,a),(2,b),(3,c)} หมายถึง f(1) = a, f(2) = b,f(3) = c

6.จากบทนิยาม กล่าวง่าย ๆ ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง คือฟังก์ชันที่สมาชิกแต่ละตัวในเรนจ์ของฟังก์ชันนั้น

มีสมาชิกในโดเมนเพียงตัวเดียวเท่านั้นมาจับคู่ และฟังก์ชันที่ไม่เป็น 1-1 ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิกบางตัวในเรนจ์

ของฟังก์ชันนั้นที่มีสมาชิกในโดเมนมากกว่าหนึ่งตัวมาจับคู่

7. วิธีการตรวจสอบว่าเป็นฟังก์ชัน 1-1 หรือไม่

1. ถ้ากำหนดฟังก์ชันแบบแจกแจงสมาชิก

วิธีการตรวจสอบ “ให้ดูที่สมาชิกตัวหลังของคู่อันดับ”

ถ้าไม่ซ้ำกัน แสดงว่าฟังก์ชันเป็นแบบ1-1

ถ้ามีซ้ำกัน แสดงว่าไม่ใช่ฟังก์ชัน 1-1

ตัวอย่างโจทย์ f(1) = {(1,2),(1,3),(2,2),(3,4)}

จะเห็นว่ามีสมาชิกอยู่ 2 คู่ ที่มีสมาชิกตัวหลังซ้ำกัน สรุปได้ว่าไม่ฟังก์ชันเป็นแบบ 1-1

2. ถ้ากำหนดแบบบอกเงื่อนไข

วิธีตรวจสอบ “ให้สมมติให้ค่า y ที่อยู่ในเรนจ์ของฟังก์ชันนั้นขึ้นมา 1 ค่า แทนลงในเงื่อนไขของฟังก์ชัน

แล้วหาค่า x ออกมา”

ถ้าได้ค่า x ค่าเดียว แสดงว่า ฟังก์ชันนั้นเป็นแบบ 1-1

ถ้าได้ค่า x มากกว่า 1 ค่า แสดงว่าไม่เป็นแบบ 1-1

ตัวอย่างโจทย์

f(x) = x²+2x-2 วิธีทำให้สมมติค่า f(x) = y =1 เมื่อแทนค่าแล้วจะได้ x=-3,1 ซึ่งแสดงว่า

เงื่อนไขนี้ไม่เป็นฟังก์ชันแบบ 1-1

3. ถ้ากำหนดเป็นกราฟ

วิธีการตรวจสอบ “ให้ลากเส้นตรงตั้งฉากกับแกน y ตัดกราหของฟังก์ชันนั้น”

ถ้าตัดกราฟเพียงจุดเดียว แสดงว่าเป็นฟังก์ชัน 1-1

ถ้าตัดกราฟมากกว่า 1 จุด แสดงว่า ไม่เป็นฟังก์ชัน 1-1

8.วิธีการตรวจสอบว่า f เป็งฟังก์ชันจาก A ไป B หรือไม่

1. หา D_f

ถ้า D_f .A สรุปได้ว่า f ไม่เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B

ถ้า D_f =.A ยังสรุปไม่ได้ต้องพิสูจน์ต่อไปว่า

2. หา R_f

ถ้า R_f B สรุปได้ว่า f ไม่เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B

ถ้า R_f B สรุปได้ว่า f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B

9. วิธีการตรวจสอบว่า f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B หรือไม่

1. หา D_f

ถ้าD_f A สรุปได้ว่า f ไม่เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B

ถ้าD_f =.A ยังสรุปไม่ได้ต้องพิสูจน์ต่อไปว่า

2. หา R_f

ถ้า R_f B สรุปได้ว่า f ไม่เป็นฟังก์ชัน A ไปทั่วถึง B

ถ้า R_f = B สรุปได้ว่า f ไม่เป็นฟังก์ชัน A ไปทั่วถึง B

ความหมายของฟังก์ชัน จากความรู้เรื่องความสัมพันธ์ที่เรียนมาแล้ว พิจารณาความสัมพันธ์ต่อไปนี้ 1. กำหนดให้ r1 = { (0,1), (1,2), (2,3), (1,1), (0,4) } r2 = { (0,3), (1,1), (2,1), (3,4) } ถ้าต้องการแสดงว่าสมาชิกใดของโดเมนมีความสัมพันธ์กับสมาชิกใดของเรนจ์อาจจะใช้วิธี เขียนลูกศรโยงเรียกว่าการจับคู่ เช่นจากความสัมพันธ์ r1 และ r2เขียนแผนภาพแสดงการจับคู่ได ้ดังนี้ การจับคู่ระหว่างสมาชิกในโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ r1 และ r2 มีข้อแตกต่างกันคือ ใน r1 มีคู่อันดับที่สมาชิกตัวหน้าเหมือนกัน แต่สมาชิกตัวหลังต่างกัน คือ (0,1) กับ (0,4) และ (1,1) กับ (1,2) ส่วนใน r2 สมาชิกตัวหน้าของแต่ละคู่อันดับไม่เหมือนกันเลย นั่นคือแต่ละสมาชิก ในโดเมนของ r2 จะจับคู่กับสมาชิกในเรนจ์ของ r2 เพียงตัวเดียวเท่านั้น ความสัมพันธ์ที่มีลักษณะดังใน (1), (2) และความสัมพันธ์ r2 ใน (3) เรียกว่า ฟังก์ชัน จากบทนิยามกล่าวได้ว่า ฟังก์ชัน f คือ ความสัมพันธ์ ซึ่งถ้ามี (x,y) f และ (x,z f แล้ว y = z