วิชาคณิตศาสตร์‎ -จำนวนเชิงซ้อน เลขออนไลน์

ประกอบด้วยเลขจำนวน 2 ระบบ คือ

1. ระบบจำนวนจริง (Real Number System)

2. ระบบจำนวนเชิงซ้อนประเภทจินตภาพ (Imaginary Number System)

1 จำนวนจินตภาพ (Imaginary Number) 

เป็นจำนวนที่เกิดจากนักคณิตศาสตร์ พยายามแก้ไขปัญหาในค่า x จากสมการ  

                                                                   x² + 1 = 0

x²  =  -1

x  =  ± Ö- 1

 แต่เนื่องจากÖ- 1    มิใช่จำนวนจริง นักคณิตศาสตร์จึงตั้งชื่อจำนวนจริงลบที่อยู่ในเครื่องหมาย Ö     ว่าจำนวนจินตภาพและใช้สัญลักษณ์ i  แทน Ö-1     ดังนั้น      i²  =  -1

      2. จำนวนตรรกยะ (Rational Number) 

คือ จำนวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน  a/b เมื่อ a และ  b  เป็นจำนวนเต็มโดยที่ b ¹0  จำนวนตรรกยะ จำแนกได้เป็น 3 ประเภทใหญ่ ๆ คือ

1.จำนวนเต็ม (Integer)

2.เศษส่วน (Fraction)

3 ทศนิยม (Repeating decimal)

              3.  จำนวนอตรรกยะ (irrational Number) 

       คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน a/b เมื่อ a และ  b  เป็นจำนวนเต็มโดยที่ b ¹0   หรือจำนวน

อตรรกยะคือ  จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะนั่นเอง จำนวนอตรรกยะ จำแนกได้เป็น 2 ประเภทใหญ่ใหญ่คือ

1.  จำนวนติดกรณ์บางจำนวนเช่น เป็นต้น

2.   จำนวนทศนิยมไม่ซ้ำเช่น 5.18118168473465

หมายเหตุ p ซึ่งประมาณได้ด้วย 22/7 แต่จริงๆ แล้วpเป็นเลข

อตรรกยะ

        

          4.  จำนวนเชิงซ้อน(Complex Number) 

       เขียนแทนด้วย z โดยที่ z = (a,b) จะได้ว่า      z  =  a + bi   เมื่อ  i  =  รูท-1            i² = -1

                        เรียก     a ว่า เป็นส่วนจำนวนจริงของจำนวนเชิงซ้อน z

                        b ว่า เป็นส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน z

           4.1  การเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อน 

ให้ z₁ = a + bi   และ  z₂  =  c + di    

ดังนั้น   z₁  =  z₂   ก็ต่อเมื่อ a = c  และ b = d

 4.2  การบวกจำนวนเชิงซ้อน

ให้ z₁ = a + bi   และ  z₂  =  c + di    

ดังนั้น z₁ + z₂  =  (a+c) + (b+d)i

4.3      การคูณจำนวนเชิงซ้อนด้วยจำนวนจริง

ให้ z₁ = a + bi  และ k  เป็น จำนวนจริง

kz  =  ka + kbi

4.4    การคูณจำนวนเชิงซ้อนด้วยจำนวนเชิงซ้อน

ให้ z₁ = a + bi   และ  z₂  =  c + di    

            z₁ z₂ = (a + bi)( c + di)  =  (ac – bd , ad+bc)

ตัวอย่าง  จงหาผลคูณของ   3 + 4i  กับ  2 + i

วิธีทำ               (3 + 4i)( 2 + i )    =      6 +3i + 8i + 4i²

                                                            =          6 + 11i – 4   =  2 + 11i        

                           

4.3   คอนจูเกต(conjugate) ของจำนวนเชิงซ้อน  แทนด้วย   z 

ถ้า z = a + bi  แล้ว   z  =  a – bi

 

4.4    การแก้สมการที่ผลลัพธ์เป็นจำนวนเชิงซ้อน

สมการอยู่ในรูป  ax² + bx + c = 0  เมื่อ a ¹ = 0

จำนวนเชิงซ้อนในรูปขั้ว