สมบัติของจำนวนจริง-คณิตศาสตร์ออนไลน์

สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง

กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. สมบัติการสะท้อน a = a

2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a

3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c

4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c
5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc

สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง

กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง

2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c

3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) +c

4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0

นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก

5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a

นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก

สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง

กำหนดให้ a, b, c, เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. สมบัติปิดการคูณ ab เป็นจำนวนจริง

2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ ab = ba

3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c

4. เอกลักษณ์การคูณ 1 · a = a = a · 1

นั่นคือในระบบจำนวนจริง มี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ

5. อินเวอร์สการคูณ a · a-1 = 1 = a · a-1, a ≠ 0

นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจริง a จะมี a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณ ยกเว้น 0

6. สมบัติการแจกแจง

a( b + c ) = ab + ac

( b + c )a = ba + ca

จากสมบัติของระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้ว สามารถนำมาพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทต่างๆ ได้ดังนี้

ทฤษฎีบทที่ 1 กฎการตัดออกสำหรับการบวก
เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

ถ้า a + c = b + c แล้ว a = b

ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c

ทฤษฎีบทที่ 2 กฎการตัดออกสำหรับการคูณ
เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
ถ้า ac = bc และ c ≠ 0 แล้ว a = b
ถ้า ab = ac และ a ≠ 0 แล้ว b = c

ทฤษฎีบทที่ 3 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
a · 0 = 0
0 · a = 0

ทฤษฎีบทที่ 4 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
(-1)a = -a
a(-1) = -a

ทฤษฎีบทที่ 5 เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ
ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0

ทฤษฎีบทที่ 6 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ

a(-b) = -ab

(-a)b = -ab
(-a)(-b) = ab

เราสามารถนิยามการลบและการหารจำนวนจริงได้โดยอาศัยสมบัติของการบวกและการคูณใน
ระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น

การลบจำนวนจริง

บทนิยาม เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ
a- b = a + (-b)

นั่นคือ a – b คือ ผลบวกของ a กับอินเวอร์ส

การบวกของ b

สมบัติของการไม่เท่ากันในระบบจำนวนจริง

ให้ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

(1) สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a   b และ b   c  แล้ว  a   c

(2) สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a    b แล้ว a+c     b  +c

(3) สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากันที่น้อยกว่าศูนย์

ถ้า a     b และ c      0  แล้ว ac    bc

(5) สมบัติการตัดต่อออกสำหรับการบวก

 ถ้า a+ b    b+c แล้ว a   b

(6) สมบัติการตัดออกสำหรับการคูณ

ถ้า ac   bc c  และ c    0  แล้ว  a      b

 

ถ้า ac    bc   และ c     0 แล้ว a    b

a ≤ b หมายถึง a น้อยกว่าหรือ เท่ากับ b

a ≥ b   หมายถึงa  มากกว่าหรือ เท่ากับ b

a < b < c หมายถึง a < b และ b < c

a ≤ b ≤ c หมายถึง a ≤ b และ b ≤ c

ช่วงของจำนวนจริงและการแก้อสมการ

กำหนดให้ a, b เป็นจำนวนจริง และ a < b

1. ช่วงเปิด (a, b)

 

(a, b) = { x | a < x < b }

 

2. ช่วงปิด [a, b]

[a, b] = { x | a ≤ x ≤ b }

3. ช่วงครึ่งเปิด (a, b]

 

(a, b] = { x | a < x ≤ b }

4. ช่วงครึ่งเปิด [a, b)

 

[a, b) = { x | a ≤ x < b }

5. ช่วง (a, ∞)

(a, ∞) = { x | x > a}

6. ช่วง [a, ∞)

[a, ∞) = { x | x ≥ a}

 

7. ช่วง (-∞, a)

 

(-∞, a) = { x | x < a}

8. ช่วง (-∞, a]

 

(-∞, a] = { x | x ≤ a}