สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
นักเรียนเคยสังเกตหรือไม่ว่า ชีวิตประจำวันของเราเกี่ยวข้องกับรูปเรขาคณิตเสมอ เราใช้สมบัติของรูปเรขาคณิตในงานก่อสร้าง เช่น ใช้สมบัติของรูปสามเหลี่ยมในการประกอบโครงของบ้านหรืออาคารให้มีความแข็งแรง ใช้มุมฉากในการตั้งเสาบ้านให้ตั้งฉากกับพื้นดิน เพื่อให้บ้านแข็งแรงและรับน้ำหนักได้ดี สร้างหน้าต่างและประตูให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากเพื่อความสวยงามและมองเห็นภายนอกได้กว้าง หรือสร้างไม้ค้ำประกอบเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากค้ำชายคาบ้านให้แข็งแรงมั่นคง
ต่อไปนี้นักเรียนจะได้เรียนเกี่ยวกับสมบัติที่สำคัญของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก อีกประการหนึ่ง คือ พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่มี AC ̂B เป็นมุมฉาก
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
1.1สมบัติรูปสามเหลี่ยม
รูปสามเหลี่ยม เป็นหนึ่งในรูปร่างพื้นฐานในเรขาคณิต คือ รูปหลายเหลี่ยมซึ่งมีมุม 3 มุมหรือจุดยอด และมีด้าน 3 ด้านหรือขอบที่เป็นส่วนของเส้นตรง รูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด A,B,และ C เขียนแทนด้วย ABC
คุณสมบัติและการแบ่งประเภทของรูปสามเหลี่ยมตามความยาวของด้าน
1.รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า (equilateral) มีด้านทุกด้านยาวเท่ากัน และมีมุมทุกมุมขนาดเท่ากัน นั่นคือมุมภายในทุกมุมจะมีขนาดเท่ากัน คือ 60° และเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ
รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า
2.รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว (isosceles) มีด้านสองด้านยาวเท่ากัน และมีมุมสองมุมขนาดเท่ากัน คือมุมที่ไม่ได้ประกอบด้วยด้านที่เท่ากันทั้งสอง
คุณสมบัติและการแบ่งประเภทของรูปสามเหลี่ยมตามมุมภายใน
1.รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (right, right-angled, rectangled) มีมุมภายในมุมหนึ่งมีขนาด 90° (มุมฉาก) ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมฉากเรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งเป็นด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยม อีกสองด้านเรียกว่า ด้านประกอบมุมฉาก ความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสัมพันธ์กันตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส นั่นคือกำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก c จะเท่ากับผลบวกของกำลังสองของด้านประกอบมุมฉาก a, b เขียนอย่างย่อเป็น a2 + b2 = c2 ดูเพิ่มเติมที่ รูปสามเหลี่ยมมุมฉากพิเศษ
2.รูปสามเหลี่ยมมุมเฉียง (oblique) ไม่มีมุมใดเป็นมุมฉาก ซึ่งอาจหมายถึงรูปสามเหลี่ยมมุมป้านหรือรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม
2.1 รูปสามเหลี่ยมมุมป้าน (obtuse) มีมุมภายในมุมหนึ่งมีขนาดใหญ่กว่า 90° (มุมป้าน)
2.2. รูปสามเหลี่ยมมุมแหลม (acute) มุมภายในทุกมุมมีขนาดเล็กกว่า 90° (มุมแหลม) รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม แต่รูปสามเหลี่ยมมุมแหลมทุกรูปไม่ได้เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า
การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม
พื้นที่รูปสามเหลี่ยม = 1/2 x ฐาน x สูง
รูปสามเหลี่ยม(Triangle) คือ หนึ่งในรูปร่างพื้นฐานในเรขาคณิต เป็นรูป 2 มิติ ที่ประกอบด้วยจุดยอด 3 จุดและด้าน 3 ด้านที่เป็นส่วนของเส้นตรงชนิดของรูปสามเหลี่ยม
รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า มีด้านทุกด้านยาวเท่ากัน รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าจะเป็นรูปมุมเท่าอีกด้วย นั่นคือ มุมภายในทุกมุมจะมีขนาดเท่ากัน คือ 60° รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มีด้านสองด้านยาวเท่ากัน
รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วจะมีมุมสองมุมมีขนาดเท่ากัน
รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า ด้านทุกด้านจะมีความยาวแตกต่างกัน มุมภายในในรูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่าจะมีขนาดเแตกต่างกัน
รูปสามเหลี่ยมแบ่งชนิดตามขนาดของมุมภายในที่ใหญ่ที่สุด อธิบายด้วยองศา
รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีมุมภายในมุมหนึ่งมีขนาด 90° (มุมฉาก) ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมฉาก คือ ด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งเป็นด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก อีกสองด้าน คือ ด้านประกอบมุมฉาก
รูปสามเหลี่ยมมุมป้าน มีมุมภายในมุมหนึ่งมีขนาดใหญ่กว่า 90° (มุมป้าน)
รูปสามเหลี่ยมมุมแหลม มุมภายในทุกมุมมีขนาดเล็กกว่า 90° (มุมแหลม)
ข้อเท็จจริงพื้นฐาน
ยุคลิดได้แสดงข้อเท็จจริงพื้นฐานเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมไว้ในหนังสือ Elements เล่ม 1-4 เมื่อราวๆ 300 ปีก่อนคริสตกาล
รูปสามเหลี่ยมเป็น รูปหลายเหลี่ยม และเป็น 2-ซิมเพล็กซ์ (2-simplex)
รูปสามเหลี่ยม 2 รูป จะเรียกว่าคล้ายกัน ก็ต่อเมื่อ มุมของรูปสามเหลี่ยมหนึ่ง มีขนาดเท่ากับมุมที่สมนัยกันของอีกรูปสามเหลี่ยมหนึ่ง ด้านที่สมนัยกันจะเป็นสัดส่วนกัน ตัวอย่างเช่น รูปสามเหลี่ยม 2 รูปที่มีมุมร่วมกันมุมหนึ่ง และด้านที่ตรงข้ามกับมุมนั้นขนานกัน
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ไซน์ และ โคไซน์ สามารถนิยามขึ้นจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและเรื่องความคล้ายกันได้ ฟังชันก์เหล่านี้เป็นฟังก์ชันของมุม ซึ่งดูได้ในตรีโกณมิติ
พิจารณา รูปสามเหลี่ยมที่ประกอบด้วยจุดยอด A, B และ C, มุม α, β และ γ และด้าน a, b และ c ด้าน a อยู่ตรงข้ามกับ จุดยอด A และมุม α และทำนองเดียวกับด้านอื่นๆ
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (Pythagorean theorem) กล่าวว่าในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก จะเท่ากับ ผลรวมของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านอีกสองด้านที่เหลือ ถ้าจุดยอด C เป็นมุมฉาก จะได้ว่า
นั่นหมายความว่า ถ้ารู้ความยาวของด้าน 2 ด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ก็เพียงพอที่จะคำนวณด้านที่สาม ซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถทำให้อยู่ในรูปทั่วไปโดยกฎโคไซน์ (law of cosines) ได้ว่า
ซึ่งใช้ได้กับทุกรูปสามเหลี่ยม แม้ว่า γ จะไม่เป็นมุมฉาก กฎโคไซน์ใช้คำนวณความยาวของด้านและขนาดของมุมของรูปสามเหลี่ยมได้ เมื่อรู้ความยาวของด้านทั้งสามด้าน หรือ รู้ความยาวของด้านทั้งสองที่อยู่ติดกับมุมที่รู้ขนาด
เมื่อ d คือเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมล้อม (วงกลมที่เล็กที่สุด ที่สามารถบรรจุรูปสามเหลี่ยมไว้ภายในได้พอดี) กฎไซน์ใช้คำนวณความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมได้ เมื่อรู้ขนาดของมุม 2 มุมและด้าน 1 ด้าน ถ้ารู้ความยาวของด้าน 2 ด้านและขนาดของ
มุมที่ไม่อยู่ติดกัน กฎไซน์ก็สามารถใช้ได้เช่นเดียวกัน อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้อาจมีไม่มีคำตอบ หรืออาจมี 1 หรือ 2 คำตอบ
