สรุปเข้มจำนวนจริง ม.4 บทพื้นฐานของคณิต ม.ปลาย

จำนวนจริง(Real Number)

จำนวนจริง (Real Number)
ระบบจำนวนเลขเท่าที่มนุษย์คิดค้นพบในขณะนี้ประกอบด้วยเลขจำนวน 2 ระบบ คือ
1. ระบบจำนวนจริง (Real Number System)
2. ระบบจำนวนเชิงซ้อนประเภทจินตภาพ (Imaginary Number System)
สรุปเป็นแผนภูมิได้ดังนี้

จำนวนตรรกยะ (Rational Number) คือ จำนวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน a/b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มโดยที่ b ¹ 0 จำนวนตรรกยะ จำแนกได้เป็น 3 ประเภทใหญ่ ๆ คือ
1. จำนวนเต็ม (Integer)
2. เศษส่วน (Fraction) >>> จำนวนที่เขียนในรูปของเศษส่วนได้ เช่น 1/2, 2/3, 1/3, 50/49, 1, -1, 0
3. ทศนิยม (Repeating decimal) >>> เช่น 3.33333… เท่ากับ 10/3 หรือ 0.142857142857142857142857142857… เท่ากับ 1/7
จำนวนอตรรกยะ (irrational Number) คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน a/b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มโดยที่ b ¹ 0 หรือจำนวนอตรรกยะคือ จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะนั่นเอง จำนวนอตรรกยะ จำแนกได้เป็น 2 ประเภทใหญ่ใหญ่คือ
1. จำนวนติดกรณ์บางจำนวน เช่น เป็นต้น
2. จำนวนทศนิยมไม่ซ้ำเช่น 5.18118168473465
หมายเหตุ p ซึ่งประมาณได้ด้วย 22/7 แต่จริงๆ แล้ว p เป็นเลขอตรรกยะ

จำนวนเต็ม จากจำนวนที่มนุษย์ค้นพบได้เป็นครั้งแรกก็คือ จำนวนนับ นั่นก็คือ 1 2 3 4 5 ก็ถือได้ว่าเป็นจำนวนนับ (ในที่นี้จะหมายถึงเซตของจำนวนนับ) แทนสัญลักษณ์ไว้ด้วย หากแต่ก็มีชื่อเรียกจำนวนนับดังข้างต้นได้อีกอย่างว่า “เซตของจำนวนเต็มบวก” ซึ่งแทนด้วย นั่นก็คือ จำนวนดังกล่าวก็ถือได้ว่าเป็นจำนวนเต็มด้วยเช่นกัน แทนสัญลักษณ์จำนวนเต็มด้วย ซึ่งจำนวนเต็มนี้ อาจจะเป็นจำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ ก็ได้ แล้วแต่ว่าจะกำหนดมาให้

1. จำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น √2 , √3, √5, -√2, – √3, -√5 หรือ ¶ ซึ่งมีค่า 3.14159265…
2. จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น
		เขียนแทนด้วย 0.5000…
		เขียนแทนด้วย 0.2000…



• ระบบจำนวนตรรกยะ
จำนวนตรรกยะยังสามารถแบ่งเป็น 2 ประเภท คือ
1. จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนหรือทศนิยมซ้ำได้ แต่ไม่เป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น
2. จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …} เมื่อกำหนดให้ I เป็นเซตของจำนวนเต็ม

• ระบบจำนวนเต็ม
จำนวนเต็มยังสามารถแบ่งได้อีกเป็น 3 ประเภทด้วยกัน

1. จำนวนเต็มลบ หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I – โดยที่ I – = {…, -4, -3, -2, -1} เมื่อ I – เป็นเซตของจำนวนเต็มลบ
2. จำนวนเต็มศูนย์ (0)
3. จำนวนเต็มบวก หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I+ โดยที่ I+ = {1, 2, 3, 4, …} เมื่อ I+ เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก
จำนวนเต็มบวก เรียกได้อีกอย่างว่า “จำนวนนับ” ซึ่งเขียนแทนเซตของจำนวนนับได้ด้วยสัญลักษณ์ N โดยที่ N = I+ = {1, 2, 3, 4, …}

• ระบบจำนวนเชิงซ้อน
นอกจากระบบจำนวนจริงที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว ยังมีจำนวนอีกประเภทหนึ่ง ซึ่งได้จากการแก้สมการต่อไปนี้
	x2 = -1	∴ x = √-1 = i
	x2 = -2	∴ x = √-2 = √2 i
	x2 = -3	∴ x = √-3 = √3 i
จะเห็นได้ว่า “ไม่สามารถจะหาจำนวนจริงใดที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเป็นลบ” เราเรียก √-1 หรือจำนวนอื่นๆ ในลักษณะนี้ว่า “จำนวนจินตภาพ”และเรียก i ว่า “หนึ่งหน่วยจินตภาพ” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ i
ยูเนียนของเซตจำนวนจริงกับเซตจำนวนจินตภาพ คือ ” เซตจำนวนเชิงซ้อน ” (Complex numbers)

การบวก/ลบพหุนาม

การบวก/ลบพหุนาม ยังใช้กฎเหล็กข้อเดียวกับเอกนาม คือ

พหุนามจะสามารถบวกหรือลบกันได้ เมื่อตัวแปรเหมือนกัน

การบวกลบพหุนามยังช่วยให้สามารถหาพหุนามในรูปผลสำเร็จได้

ตัวอย่าง
4xy+5x²y-2xy
พหุนามในรูปผลสำเร็จ	ดีกรีของพหุนาม
= (4-2)xy + 5x²y = 2xy + 5x²y	2+1 = 3 (เอกนามที่มีผลบวกเลขชี้กำลังสูงสุด คือ 5x²y)

ตัวอย่าง
xy²+3x²y-5xy²-x²y
พหุนามในรูปผลสำเร็จ	ดีกรีของพหุนาม
= (1-5)xy² + (3-1)x²y = -4xy² + 2x²y	2+1 = 3 (เอกนามที่มีผลบวกของเลขชี้กำลังสูงสุด คือ -4xy² และ 2x²y ซึ่งมีค่าเท่ากัน)

การคูณพหุนาม

การคูณเอกนามด้วยเอกนาม

เป็นพื้นฐานในการคูณต่อ ๆ ไปหลังจากนั้น โดยหลักการคูณ เอกนามด้วยเอกนาม คือ

ตัวแปรคูณตัวแปร ค่าคงตัวคูณค่าคงตัว

กล่าวคือ ถ้าเจอเอกนาม ให้นำตัวแปรคูณกับตัวแปร ค่าคงตัวคูณกับค่าคงตัว หรือพูดสั้น ๆ ว่าประเภทเดียวกันคูณกัน ถ้ายังแยกตัวแปรกับค่าคงตัวไม่ออกสามารถไปทวนได้ที่หัวข้อแรก และ การคูณตัวแปรจำเป็นต้องใช้ความรู้เรื่องเลขยกกำลัง เพราะฉะนั้นสามารถกลับไปทวนเรื่องเลขยกกำลังได้

ตัวอย่าง

(5y²)(4y)

= (5∙4)(y²∙y)

= 20y³

ตัวอย่าง

(3a²b)(-7b³c)

= (3)(-7) (a²∙b∙b³∙c )

= -21a²b⁴c