คณิตศาสตร์ ม.ต้น สรุปเนื้อหา จำนวนจริง ม.2

ระบบจำนวนจริง (Real number)
จํานวนจริงสามารถแบ่งได้เป็น 2 ลักษณะ คือ จํานวนตรรกยะ และจํานวนอตรรกยะ

1.จำนวนตรรกยะ (Rational Number) หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนได้ในรูป เศษส่วน

ของจำนวนเต็ม (ตัวส่วนไม่เท่ากับ 0 ) หรือเป็นทศนิยมซ้ำ

จำนวนตรรกยะ (Rational Number) คือ จำนวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน a/b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มโดยที่ b ¹ 0 จำนวนตรรกยะ จำแนกได้เป็น 3 ประเภทใหญ่ ๆ คือ
1. จำนวนเต็ม (Integer)
2. เศษส่วน (Fraction) >>> จำนวนที่เขียนในรูปของเศษส่วนได้ เช่น 1/2, 2/3, 1/3, 50/49, 1, -1, 0
3. ทศนิยม (Repeating decimal) >>> เช่น 3.33333… เท่ากับ 10/3 หรือ 0.142857142857142857142857142857… เท่ากับ 1/7
จำนวนอตรรกยะ (irrational Number) คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน a/b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มโดยที่ b ¹ 0 หรือจำนวนอตรรกยะคือ จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะนั่นเอง จำนวนอตรรกยะ จำแนกได้เป็น 2 ประเภทใหญ่ใหญ่คือ
1. จำนวนติดกรณ์บางจำนวน เช่น เป็นต้น
2. จำนวนทศนิยมไม่ซ้ำเช่น 5.18118168473465
หมายเหตุ p ซึ่งประมาณได้ด้วย 22/7 แต่จริงๆ แล้ว p เป็นเลขอตรรกยะ

จำนวนเต็ม จากจำนวนที่มนุษย์ค้นพบได้เป็นครั้งแรกก็คือ จำนวนนับ นั่นก็คือ 1 2 3 4 5 ก็ถือได้ว่าเป็นจำนวนนับ (ในที่นี้จะหมายถึงเซตของจำนวนนับ) แทนสัญลักษณ์ไว้ด้วย หากแต่ก็มีชื่อเรียกจำนวนนับดังข้างต้นได้อีกอย่างว่า “เซตของจำนวนเต็มบวก” ซึ่งแทนด้วย นั่นก็คือ จำนวนดังกล่าวก็ถือได้ว่าเป็นจำนวนเต็มด้วยเช่นกัน แทนสัญลักษณ์จำนวนเต็มด้วย ซึ่งจำนวนเต็มนี้ อาจจะเป็นจำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ ก็ได้ แล้วแต่ว่าจะกำหนดมาให้

ตัวอย่าง
จำนวนเต็มยังสามารถแบ่งได้อีกเป็น 3 ประเภทด้วยกัน
1. จำนวนเต็มลบ หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I – โดยที่ I – = {…, -4, -3, -2, -1}
เมื่อ I – เป็นเซตของจำนวนเต็มลบ
2. จำนวนเต็มศูนย์ (0)
3. จำนวนเต็มบวก หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I+ โดยที่ I+ = {1, 2, 3, 4, …}
เมื่อ I+ เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก
จำนวนเต็มบวก เรียกได้อีกอย่างว่า “จำนวนนับ” ซึ่งเขียนแทนเซตของจำนวนนับได้ด้วยสัญลักษณ์ N โดยที่ N = I+ = {1, 2, 3, 4, …}
ระบบจำนวนเชิงซ้อนนอกจากระบบจำนวนจริงที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว ยังมีจำนวนอีกประเภทหนึ่ง ซึ่งได้จากการแก้สมการต่อไปนี้
x^2 = -1 ∴ x = √-1 = i
x^2= -2 ∴ x = √-2 = √2 i
x^2 = -3 ∴ x = √-3 = √3 i

2. จำนวนอตรรกยะ (Irrational Number ) หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูป

เศษส่วนของจำนวนเต็มหรือเป็นทศนิยมไม่รู้จบ

จำนวนตรรกยะที่ไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม

เช่นเดียวกัน จำนวนตรรกยะก็มีส่วนที่ไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม ซึ่งสามารถแบ่งเป็นส่วนย่อยได้ดังนี้

เศษส่วน
ทศนิยมซ้ำ

ซึ่งในหัวข้อนี้จะไม่ได้พูดถึงเศษส่วนและทศนิยมซ้ำอย่างละเอียด ถ้าต้องการศึกษาเพิ่มเติม สามารถเข้าไปศึกษาได้

จำนวนเต็ม ( INTEGER )

จากหัวข้อก่อนหน้านี้ จำนวนเต็มเป็นส่วนหนึ่งของจำนวนตรรกยะ ซึ่งในจำนวนเต็มก็ยังสามารถแบ่งส่วนย่อยลงไปได้อีกเป็น

จำนวนเต็มบวก
จำนวนเต็มลบ
จำนวนเต็มศูนย์

ข้อควรรู้ :

ไม่มีจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุด
ไม่มีจำนวนเต็มลบที่่น้อยที่สุด
0 ไม่ใช่ทั้งจำนวนเต็มบวก และ จำนวนเต็มลบ
จำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด คือ 1
จำนวนเต็มลบที่มากที่สุด คือ -1

ประเภทของจำนวน

จำนวนคู่ ( Even Number ) : คือ จำนวนที่ 2 สามารถหารได้ลงตัว
จำนวนคี่ ( Odd Number ) : คือจำนวนที่ 2 ไม่สามารถหารได้ลงตัว
จำนวนเฉพาะ ( Prime Number ) : คือ จำนวนนับที่มีตัวหารที่เป็นจำนวนบวกเพียง 2 ตัว คือ 1 และ ตัวมันเองเท่านั้น
จำนวนประกอบ ( Composite Number ) คือ จำนวนนับที่เกิดจากผลคูณของจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 2 ตัวขึ้นไป

สมบัติของจำนวนจริง

กำหนดให้ a , b และ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ

1. สมบัติการบวกในจำนวนจริง

สมบัติปิดการบวก

ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงใด ๆ a + b จะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริง

สมบัติการสลับที่การบวก

a + b = b + a

สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

การมีเอกลักษณ์การบวก

0 + a = a + 0 = a

การมีอินเวอร์สการบวก

a + ( -a ) = ( -a ) + a = 0

2. สมบัติการคูณในจำนวนจริง

สมบัติปิดการคูณ

ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงแล้ว ab จะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริง

สมบัติการสลับที่การคูณ

ab = ba

สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการคูณ

a × ( bc ) = ( ab ) × c

การมีเอกลักษณ์การคูณ

1 × a = a × 1 = a

การมีอินเวอร์สการคูณ

a × ( 1/a ) = ( 1/a ) × a = 1

สมบัติการแจกแจง

a ( b+c ) = ab + ac

สมบัติของจำนวนจริง

กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. สมบัติการสะท้อน a = a

2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a

3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c

4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c

5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc

• สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง

กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง

2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c

3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c

4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0

นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก

5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a

นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก

รากที่สอง (Square Root)
รากที่สองของ

การหารากที่สองโดยวิธีตั้งหาร

จะเห็นว่าการหารากที่สองโดยที่ผ่านมานั้นเป็นการหาเฉพาะตัวเลขง่าย ๆ แต่สำหรับวิธีการตั้งหารสำหรับวิธีเหมาะสำหรับตัวเลขที่มีสามหลักขึ้นไป หรือตัวเลขที่เป็นทศนิยม โดยมีวิธีการดังต่อไปนี้

ขั้นที่ 1. แบ่งตัวเลขที่จะหารากที่สองออกเป็นคาบ คาบละ 2 ตัว โดยที่ถ้าเป็นจำนวนเต็มให้แบ่งจากตำแหน่งขวามือสุดไปทางซ้อยมือคาบละ 2 ตัว ถ้าเป็นตำแหน่งหลังจุดทุศนิยมให้นับจากซ้ายมือไปทางขวามือคาบละสองตัว

ขั้นที่ 2 หาจำนวนที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าใกล้เคียงกับจำนวนในคาบซ้ายสุด(อาจมีตัวเลข 1 หรือ 2 ตัวก็ ได้) จำนวนนี้จะเป็นจำนวนที่อยู่ในหลักซ้ายสุดของรากที่สองแล้วนำจำนวนนี้ใส่ลงที่ผลลัพธ์ แล้วนำกำลังสองของจำนวนนี้ลบออกจากจำนวนในคาบแรก เสร็จแล้วนำตัวเลขในคาบต่อไปลงมาเป็นตัวตั้งต่อไป

ขั้นที่ 3 นำ 2 คูณผลลัพธ์ที่ได้จากขั้นที่ 2

ขั้นที่ 4 หาจำนวนที่มีหลักเดียวเติมหลังผลคูณที่ได้จากขั้นที่ 3 และที่ผลลัพธ์แล้วนำจำนวนนี้มาคูณกับตัวตั้งของขั้นที่ 2 แล้วลบออกจากตัวตั้งของขั้นที่ 2 ถ้าผลคูณน้อยกว่าจะเหลือเศษ ให้นำตัวเลขในคาบถัดไปลงมาเป็น
ตัวตั้งต่อไป แล้วเริ่มทำตามขั้นที่ 3 ต่อไป