เรียนเลขออนไลน์ จํานวนเชิงซ้อน
จำนวนเชิงซ้อน การบวก ลบ คูณ หาร จำนวนเชิงซ้อน การหารากของจำนวนเชิงซ้อน ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน กราฟจำนวนเชิงซ้อน การเขียนจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบต่างๆ
บทนิยาม สำหรับจำนวนเชิงซ้อน z = (a, b) เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริง
เรียก a ว่าส่วนจริง(real part) ของ z และแทนด้วย Re(z)
เรียก b ว่าส่วนจินตภาพ (imaginary part) ของ z และแทนด้วย Im(z)
จะเห็นได้ว่าจำนวนจริงคือจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจินตภาพเท่ากับ 0 ซึ่งหมายความว่า เซตของ
จำนวนจริงเป็นสับเซตของจำนวนเชิงซ้อน และจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็นศูนย์ แต่ส่วนจินตภาพไม่เป็น
ศูนย์เรียกว่าจำนวนจินตภาพแท้ (purely imaginary number)
จำนวนเชิงซ้อน (0, 1) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 1 หรือ i ซึ่งเรียก i ว่าหน่วยจินตภาพ (imaginary unit)
บทนิยาม
ถ้า a เป็นจำนวนจริงบวกแล้ว a = a i
บทนิยาม
การบวกจำนวนเชิงซ้อน (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (bi + di)
= (a + c) + (b + d)i
การคูนจ ำนวนเชิงซ้อน (a +bi)(c + di) = ac + bci + adi + bdi2
= (ac – bd) + (ad + bc)i
บทนิยาม
ดังนั้น จะได้ตัวผกผัน(อินเวอร์ส) การบวกของ (a, b) คือ (–a, –b)
หรือ ตัวผกผัน(อินเวอร์ส) การบวกของ a + bi คือ –a – bi
ดังนั้น จะได้(1, 0) เป็นเอกลักษณ์การคูณในระบบจำนวนเชิงซ้อน
หรือ 1 + 0i เป็นเป็นเอกลักษณ์การคูณในระบบจำนวนเชิงซ้อน
บทนิยาม (a, b) – (c, d) = (a, b) + (–c, –d)
บทนิยาม ให้ z = a + bi เป็นจำนวนเชิงซ้อน จะเรียกจำนวนเชิงซ้อน a – bi ว่าเป็นสังยุค (conjugate)
ของ z และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ z นั่นคือ z = a bi = a – bi
การคูณจำนวนเชิงซ้อนด้วยจำนวนเชิงซ้อน และ สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน ม.5
| กำหนดให้ |
z1 |
= |
a + bi |
|
z2 |
= |
c + di |
| จะได้ |
z1z2 |
= |
(a + bi)(c + di) |
|
|
= |
a(c + di) + (bi)(c +di) |
|
|
= |
ac + adi + bic + bidi |
|
|
= |
ac + adi + bci + bdi2 |
|
|
= |
ac + adi + bci + bd(-1) |
|
|
= |
ac – bd + adi + bci |
|
|
= |
(ac – bd) + (adi + bci) |
| ดังนั้น |
z1z2 |
= |
(ac – bd) + (ad + bc)i |
|
|
|
และ |
z2 |
= |
c + di |
|
จะได้ว่า |
z1z2 |
= |
(ac – bd) + (ad + bc)i |
|
|
|
|
จงหาค่าของ (4 + 3i)(5 + 6i) |
|
|
วิธีที่ 1 ใช้สูตร |
|
|
|
|
|
(4 + 3i)(5 + 6i) |
= |
[(4)(5) – (3)(6)] + [(4)(6) + (3)(5)]i |
|
|
|
|
|
= |
(20 – 18) + (24 + 15)i |
|
|
|
|
|
= |
2 + 39i |
|
|
|
วิธีที่ 2 ใช้วิธีคูณกระจาย |
|
|
|
|
|
(4 + 3i)(5 + 6i) |
= |
(4)(5) + (4)(6i) + (3i)(5) + (3i)(6i) |
|
|
|
|
|
= |
20 + 24i + 15i + 18i2 |
|
|
|
|
|
= |
20 + 24i + 15i + 18(-1) |
|
|
|
|
|
= |
20 + 39i – 18 |
|
|
|
|
|
= |
2 + 39i |
|
|
|
|
|
จงหาค่าของ (3 + 2i)(3 – 2i) |
|
|
วิธีที่ 1 ใช้สูตร |
|
|
|
|
|
(3 + 2i)(3 – 2i) |
= |
[(3)(3) – (2)(-2)] + [(3)(-2) + (2)(3)]i |
|
|
|
|
|
= |
(9 + 4) + (-6 + 6)i |
|
|
|
|
|
= |
13 + 0i |
|
|
|
|
|
= |
13 |
|
|
|
วิธีที่ 2 ใช้วิธีคูณกระจาย |
|
|
|
|
|
(3 + 2i)(3 – 2i) |
= |
(3)(3) + (3)(-2i) + (2i)(3) + (2i)(-2i) |
|
|
|
|
|
= |
9 – 6i + 6i + (-4)i2 |
|
|
|
|
|
= |
9 + (-4)(-1) |
|
|
|
|
|
= |
9 + 4 |
|
|
|
|
|
= |
13 |
|
|
|
|
|
กำหนดให้ z1 = 2 + 3i, z2 = 6 + i, z3 = -2i และ z4 = -1 – 4i จงหาค่าของ |
|
| 1. 2(z1 + z2) |
2. 3z1 + 4z3 |
3. 3z1z4 – 4z2 |
4. |
|
|
|
|
1. |
2(z1 + z2) |
= |
2[(2 + 3i) + (6 + i)] |
|
|
|
|
|
= |
2[(2 + 6) + (3 + 1)i] |
|
|
|
|
|
= |
2(8 + 4i) |
|
|
|
|
|
= |
16 + 8i |
|
|
|
2. |
3z1 + 4z3 |
= |
3(2 + 3i) + 4(-2i) |
|
|
|
|
|
= |
6 + 9i – 8i |
|
|
|
|
|
= |
6 + i |
|
|
|
3. |
3z1z4 – 4z2 |
= |
3[(2 + 3i)(-1 – 4i)] – 4(6 + i) |
|
|
|
|
|
= |
3[(2)(-1) + 2(-4i) + (3i)(-1) + (3i)(-4i)] – 24 – 4i |
|
|
|
|
|
= |
3[-2 – 8i – 3i – 12i2] – 24 – 4i |
|
|
|
|
|
= |
3[-2 – 11i – 12(-1)] – 24 – 4i |
|
|
|
|
|
= |
3[-2 – 11i + 12] – 24 – 4i |
|
|
|
|
|
= |
3(10 – 11i) – 24 – 4i |
|
|
|
|
|
= |
30 – 33i – 24 – 4i |
|
|
|
|
|
= |
6 – 37i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| สังยุค (conjugate) ของ z เขียนแทนด้วย |
 |
|
|
โดยที่ |
z |
= |
a – bi |
|
|
