การกระทำทางตรรกศาสตร์
หน่วยเก็บข้อมูลพื้นฐานของเครื่องคอมพิวเตอร์ คือ บิต ประกอบไปด้วยตัวเลขสองตัว คือ 0และ 1
ซึ่งสอดคล้องกับค่าตรรกะ คือ เท็จ และ จริง จึงสามารถแทน 0ด้วยเท็จ และแทน 1ด้วยจริง
การนำข้อมูลมารวมกันจะต้องใช้ตัวกระทำหรือตัวเชื่อมของตรรกะ ตัวเชื่อมของตรรกะขั้นพื้นฐานมี
4 ตัวกระทำ คือ AND OR NOT และXNOT ซึ่งเป็นแนวคิดขั้นพื้นฐานในการสร้างวงจรสมองกลหรือ
เครื่องคอมพิวเตอร์ในปัจจุบัน
1. ตัวกระทำ และ (∧) AND คือ เมื่อข้อมูลทั้งสองมีค่าเป็นจริง ค่าที่ได้จะเป็นจริง แต่หากข้อมูลใดข้อมูลหนึ่ง
เป็นเท็จ ค่าที่ได้จะกลายเป็นเท็จ
2. ตัวกระทำ หรือ (∨) OR คือ เมื่อข้อมูลใดข้อมูลหนึ่งเป็นจริง ค่าที่ได้จะเป็นจริง แต่หากไม่มีข้อมูลใดเป็นจริง
เลย ค่าที่ได้นั้นจะเป็นเท็จ
3. ตัวกระทำ (~) NOT คือ การทำให้ข้อมูลที่มีได้ผลตรงกันข้าม กล่าวคือ ถ้าเดิมเป็นจริงผลที่ได้ก็จะกลาย เป็นเท็จ
4. ตัวกระทำ XNOTคือ เมื่อข้อมูลใดข้อมูลหนึ่งเป็นจริง ค่าที่ได้จะเป็นจริง แต่หากข้อมูลนั้นจริงหรือ
เท็จ ทั้งหมดค่าที่ได้จะเป็นเท็จ
ประพจน์ คือ ประโยคหรือข้อความที่สามารถบอกค่าความจริงว่า เป็นจริงหรือเท็จได้ จะอยู่ในรูปแบบของประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธก็ได้ มักใช้สัญลักษณ์ p, q, r, s หรือตัวอักษรอื่นๆในการแทนประพจน์
ข้อสังเกต ประโยคที่จะเป็นประพจน์ได้จะต้องไม่มีความกำกวม ต้องสามารถตอบได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ
ตัวอย่างเช่น ประโยคต่อไปนี้เป็นประพจน์หรือไม่
- 1 + 1 = 8 เป็น เพราะตอบได้ว่าประโยคนี้เป็นเท็จ
- กรุงเทพฯเป็นเมืองหลวงของประเทศไทย เป็น เพราะตอบได้ว่าประโยคนี้เป็นจริง
- นั่นคือตัวอะไร ไม่เป็น เพราะเป็นประโยคคำถาม
- x เป็นจำนวนจริง ไม่เป็น เพราะไม่รู้ว่า x คืออะไร
การเชื่อมประพจน์ มีด้วยกัน 4 แบบ ได้แก่
- และ (∧) เป็นจริงเพียงกรณีเดียวคือ T ∧ T เป็น T
- หรือ (∨) เป็นเท็จเพียงกรณีเดียวคือ F ∨ F เป็น F
- ถ้า…แล้ว (→) เป็นเท็จเพียงกรณีเดียวคือ T → F เป็น F
- ก็ต่อเมื่อ (↔) ถ้ามีค่าความจริงเหมือนกันจะเป็นจริง ไม่เหมือนกันจะเป็นเท็จ
หรือดังตารางต่อไปนี้
| p | q | p∧q | p∨q | p→q | p↔q |
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | F |
| F | T | F | T | T | F |
| F | F | F | F | T | T |
ค่าความจริงของประพจน์
การหาค่าความจริงของประพจน์ โดยที่โจทย์ไม่ได้กำหนดค่าความจริงของประพจน์ย่อยๆมาให้ ต้องพิจารณาค่าความจริงที่อาจจะเกิดขึ้นได้ทั้งหมดจากประพจน์ย่อยๆ วิธีที่นิยมคือการสร้างตารางค่าความจริง
ซึ่งถ้ามีประพจน์ย่อยทั้งหมด n ประพจน์ จะได้ค่าความจริงที่อาจจะเกิดขึ้นได้ 2n กรณี
ตัวอย่าง จงสร้างตารางค่าความจริงทุกกรณีที่เป็นไปได้ของประพจน์ (p∨q)↔p
วิธีทำ ประพจน์ (p∨q)↔p มีประพจน์ย่อย 2 ประพจน์ คือ p และ q ค่าความจริงที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ 22 = 4 กรณี สามารถสร้างตารางได้ดังนี้
| p | q | p∨q | (p∨q)↔p |
| T | T | T | T |
| T | F | T | T |
| F | T | T | F |
| F | F | F | T |
การสมมูลและนิเสธของประพจน์
นิเสธของประพจน์ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามกับประพจน์นั้นๆ (จากจริงเป็นเท็จ/จากเท็จเป็นจริง) สามารถเขียนแทนนิเสธของประพจน์ p ได้ด้วย ~p
การสมมูลของประพจน์ การที่ประพจน์ 2 ประพจน์สมมูลกัน ก็ต่อเมื่อประพจน์ทั้ง 2 ประพจน์มีค่าความจริงเหมือนกันทุกรณี สามารถเขียนแทนการสมมูลด้วย “≡”
รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน
- ~(~p) ≡ p
- p∧q ≡ q∧p
- p∨q ≡ q∨p
- p↔q ≡ q↔p
- p∧(q∧r) ≡ (p∧q)∧r
- p∨(q∨r) ≡ (p∨q)∨r
- p↔(q↔r) ≡ (p↔q)↔r
- p∧(q∨r) ≡ (p∧q)∨(p∧r)
- p∨(q∧r) ≡ (p∨q)∧(p∨r)
- p→q ≡ ~p∨q
- p→q ≡ ~q→~p
- p↔q ≡ (p→q)∧(q→p)
- ~(p∧q) ≡ ~p∨~q
- ~(p∨q) ≡ ~p∧~q
- ~(p→q) ≡ ~(~p∨q) ≡ p∧~q
- ~(p↔q) ≡ ~p↔q ≡ p↔~q
- ~(p↔q) ≡ (p∧~q)∨(q∧~p)
ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่าประพจน์ ~p→q สมมูลกับประพจน์ p∨q หรือไม่
วิธีทำ สร้างตารางค่าความจริงได้ 4 กรณี ได้ดังนี้
| p | q | ~p | ~p→q | p∨q |
| T | T | F | T | T |
| T | F | F | T | T |
| F | T | T | T | T |
| F | F | T | F | F |
จากตารางค่าความจริงของประพจน์ ~p→q และ p∨q พบว่ามีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี ดังนั้น ประพจน์ ~p→q สมมูลกับประพจน์ p∨q หรือ ~p→q ≡ p∨q
https://www.youtube.com/watch?v=paxNlWB6Gbw&t=712s
สัจนิรันดร์ คือ รูปแบบของประพจน์ที่จะมีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี
วิธีการตรวจสอบการเป็นสัจนิรันดร์
- สร้างตารางค่าความจริง ให้สร้างตารางค่าความจริง แล้วดูค่าความจริงขั้นสุดท้ายของประพจน์ว่าเป็นจริง (T) ทุกกรณีหรือไม่ ถ้าเป็นจริงทุกกรณีแสดงว่าประพจน์นั้นเป็นสัจนิรันดร์
- การใช้สมบัติข้อขัดแย้ง โดยสมมติให้ประพจน์นั้นมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) จากนั้นวิเคราะห์ย้อนกลับไปยังประพจน์ย่อยๆ เพื่อดูค่าความจริงของประพจน์ว่าขัดแย้งกันหรือไม่
- ถ้าขัดแย้งกันแสดงว่า ไม่มีโอกาสเกิดเท็จได้ ประพจน์นั้นก็เป็นสัจนิรัดร์
- ถ้าไม่ขัดแย้งกันแสดงว่า มีโอกาสเกิดเท็จได้ ประพจน์นั้นก็ไม่เป็นสัจนิรัดร์
การอ้างเหตุผล คือ การสรุปว่าสิ่งที่ระบุมานั้นสมเหตุสมผลหรือไม่ เริ่มจากนำข้อความที่กำหมดให้ซึ่งจะมี เหตุ(P) และ ผล(C) โดยนำ “เหตุ” ทั้งหมดมาเชื่อมด้วย “และ (∧)” แล้วนำไปเชื่อมด้วย “ถ้าแล้ว (→)” กับ “ผล” แล้วดูว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ ถ้าเป็นสัจนิรันดร์แปลว่าข้อความนั้นสมเหุสมผล
ตัวอย่าง การอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผลหรือไม่
- เหตุ
- p→q
- ~q
- ผล
- ~p
วิธีทำ นำเหตุทั้งหมดมาเชื่อมกันด้วย ∧ แล้วเชื่อมกับผลด้วย → จะได้ [(p→q)∧~q]→~p แล้วตรวจสอบความเป็นสัจนิรันดร์โดยการสร้างตารางค่าความจริงดังนี้
| p | q | ~p | ~q | p→q | (p→q)∧~q | [(p→q)∧~q]→~p |
| T | T | F | F | T | F | T |
| T | F | F | T | F | F | T |
| F | T | T | F | T | F | T |
| F | F | T | T | T | T | T |
จากตารางค่าความจริงพบว่าประพจน์ [(p→q)∧~q]→~p เป็นสัจนิรันดร์ แสดงว่า การอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผล
ตัวบ่งปริมาณและประโยคเปิด
ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่า หรือ ประโยคปฏิเสธ ที่มีตัวแปรแล้วเมื่อแทนตัวแปรลงไปจะได้เป็นประพจน์ เช่น
- a เป็นจำนวนคี่
- คนสวมเสื้อสีแดง
ตัวบ่งปริมาณ คือ ข้อความที่บอกเงื่อนไขของค่าตัวแปรที่จะนำไปแทน เพื่อให้ประโยคเปิด กลายเป็นประพจน์ มี 2 แบบ คือ
- ∀x หมายถึง x ทุกตัวที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์
- ∃x หมายถึง x บางตัวที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์
