การคูณจํานวนเชิงซ้อน และ การสังยุคของจำนวนเชิงซ้อน ม.5-จำนวนเชิงซ้อน (Complex Numbers)

จำนวนเชิงซ้อน (Complex Numbers)-การคูณจำนวนเชิงซ้อนด้วยจำนวนเชิงซ้อน และ สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน ม.5

กำหนดให้	z₁	=	a + bi
	z₂	=	c + di
จะได้	z₁z₂	=	(a + bi)(c + di)
		=	a(c + di) + (bi)(c +di)
		=	ac + adi + bic + bidi
		=	ac + adi + bci + bdi²
		=	ac + adi + bci + bd(-1)
		=	ac – bd + adi + bci
		=	(ac – bd) + (adi + bci)
ดังนั้น	z₁z₂	=	(ac – bd) + (ad + bc)i

กำหนดให้

z₁

a + bi

	และ	z₂	=	c + di
	จะได้ว่า	z₁z₂	=	(ac – bd) + (ad + bc)i

จงหาค่าของ (4 + 3i)(5 + 6i)

วิธีที่ 1 ใช้สูตร
	(4 + 3i)(5 + 6i)	=	[(4)(5) – (3)(6)] + [(4)(6) + (3)(5)]i
		=	(20 – 18) + (24 + 15)i
		=	2 + 39i
วิธีที่ 2 ใช้วิธีคูณกระจาย
	(4 + 3i)(5 + 6i)	=	(4)(5) + (4)(6i) + (3i)(5) + (3i)(6i)
		=	20 + 24i + 15i + 18i²
		=	20 + 24i + 15i + 18(-1)
		=	20 + 39i – 18
		=	2 + 39i

จงหาค่าของ (3 + 2i)(3 – 2i)

วิธีที่ 1 ใช้สูตร
	(3 + 2i)(3 – 2i)	=	[(3)(3) – (2)(-2)] + [(3)(-2) + (2)(3)]i
		=	(9 + 4) + (-6 + 6)i
		=	13 + 0i
		=	13
วิธีที่ 2 ใช้วิธีคูณกระจาย
	(3 + 2i)(3 – 2i)	=	(3)(3) + (3)(-2i) + (2i)(3) + (2i)(-2i)
		=	9 – 6i + 6i + (-4)i²
		=	9 + (-4)(-1)
		=	9 + 4
		=	13

กำหนดให้ z₁ = 2 + 3i, z₂ = 6 + i, z₃= -2i และ z₄ = -1 – 4i จงหาค่าของ

1. 2(z₁ + z₂)

2. 3z₁ + 4z₃

3. 3z₁z₄ – 4z₂

1.	2(z₁ + z₂)	=	2[(2 + 3i) + (6 + i)]
		=	2[(2 + 6) + (3 + 1)i]
		=	2(8 + 4i)
		=	16 + 8i
2.	3z₁ + 4z₃	=	3(2 + 3i) + 4(-2i)
		=	6 + 9i – 8i
		=	6 + i
3.	3z₁z₄ – 4z₂	=	3[(2 + 3i)(-1 – 4i)] – 4(6 + i)
		=	3[(2)(-1) + 2(-4i) + (3i)(-1) + (3i)(-4i)] – 24 – 4i
		=	3[-2 – 8i – 3i – 12i²] – 24 – 4i
		=	3[-2 – 11i – 12(-1)] – 24 – 4i
		=	3[-2 – 11i + 12] – 24 – 4i
		=	3(10 – 11i) – 24 – 4i
		=	30 – 33i – 24 – 4i
		=	6 – 37i

กำหนดให้

a + bi

สังยุค (conjugate) ของ z เขียนแทนด้วย

โดยที่

a – bi

สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน

ในทางคณิตศาสตร์ สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน (complex conjugate) เปรียบได้กับการเปลี่ยนเครื่องหมายบนส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อนนั้นให้เป็นตรงข้าม เช่น กำหนดให้จำนวนเชิงซ้อน z = a + ib ดังนั้นสังยุคของ z คือ
z = a − ib (เมื่อ a กับ b แทนจำนวนจริง)

การบ่งบอกว่าจำนวนเชิงซ้อนใดเป็นสังยุค ให้เขียนขีดเส้นตรงไว้เหนือจำนวนเชิงซ้อน หรือใส่เครื่องหมายดอกจัน (*) ไว้ที่มุมขวาบน เช่น z* แต่ในที่นี้จะใช้ขีดเพื่อไม่ให้สับสนกับสัญลักษณ์ของการสลับเปลี่ยนสังยุค (conjugate transpose) ของเมทริกซ์ ดังตัวอย่าง

แนวความคิดอีกอย่างหนึ่งคือการให้จำนวนเชิงซ้อนเป็นพิกัดอยู่บนระนาบในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน โดยให้แกน x เป็นส่วนจริงและแกน y เป็นสัมประสิทธิ์ของ i (ส่วนจินตภาพ) ในแผนภาพทางขวามือ พิกัดของจำนวนเชิงซ้อนสังยุคเปรียบเหมือนภาพสะท้อนที่อยู่บนแกน x

สำหรับฟังก์ชัน $\phi \,$ ที่เป็นฟังก์ชันฮอโลมอร์ฟิก (holomorphic function) และ $\phi (z)\,$ มีการนิยามไว้แล้ว จะได้

สังยุคของ	2 + 3i	คือ	2 -3i
สังยุคของ	-6 + 4i	คือ	-6 – 4i
สังยุคของ	3 – 2i	คือ	3 + 2i
สังยุคของ	-5 – i	คือ	-5 + i
สังยุคของ	6i	คือ	-6i
สังยุคของ	-2i	คือ	2i
สังยุคของ	7	คือ	7
สังยุคของ	3	คือ	3

สมบัติกำหนดให้ z, z1 และ z2 เป็นจำนวนเชิงซ้อน จะได้ว่า

การคูณจํานวนเชิงซ้อน และ การสังยุคของจำนวนเชิงซ้อน ม.5-จำนวนเชิงซ้อน (Complex Numbers)

จำนวนเชิงซ้อน (Complex Numbers)-การคูณจำนวนเชิงซ้อนด้วยจำนวนเชิงซ้อน และ สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน ม.5

Author: tmtyai

Related Posts