การจำแนกจำนวนเต็มบวกโดยใช้สมบัติการหารลงตัว

1.จำนวนเฉพาะ (Prime Numbers)

                บทนิยาม     จำนวน เต็ม  p จะเป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ p ≠ 0, p ≠ 1, p ≠ –1 และถ้ามีจำนวนเต็มที่หาร p ลงตัว จำนวนเต็มนั้นต้องเป็นสมาชิกของ {-1, 1, p, -p}

                                                               

    2.จำนวนประกอบ (Composite Numbers)

                บทนิยาม       จำนวนเต็ม c เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 จะเป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ c ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ

                    นั่นคือสำหรับจำนวนเต็มบวก c ใดๆ c จะเป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม m และ n ที่ต่างจาก c ที่ทำให้ c = mn

                                                               

                ตัวอย่างเช่น                                          

       จำนวนที่หาร 2 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 2, –2} ∴ 2 เป็นจำนวนเฉพาะ

       จำนวนที่หาร 3 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 3, –3} ∴ 3 เป็นจำนวนเฉพาะ

       จำนวนที่หาร 4 ลงตัว ได้แก่ {-4, –2, –1, 1, 2, 4} ∴ 4 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

                                                               

         • ขั้นตอนวิธีการหาร

                ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ b ≠ 0 แล้วจะมี q และ r ซึ่งเป็นจำนวนเต็มที่ทำให้

a = bq + r เมื่อ 0 r |b|

                นั่นคือ a เป็นตัวตั้งหารด้วย b ได้ผลหารคือ q และเศษ r

                                                               

                ตัวอย่างที่ 1           กำหนด a = 48, b = 7 จงหา q และ r

                                                 เขียนให้อยู่ในรูป    a = bq + r

                                                48 = 7 × 6 +6      

                                                           ∴     q = 6 และ r = 6                                               

           • ตัวหารร่วม

            ตัวหารร่วม

                     กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกจำนวนเต็ม c

     ซึ่ง c | a และ c | b ว่าเป็น “ตัวหารร่วม” ของ a และ b

             ตัวหารร่วมมาก

                     กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน เรียกจำนวนเต็มบวก d ที่มีค่ามากที่สุด ซึ่ง d | a และ d | b ว่าเป็น “ตัวหารร่วมมาก” (ห.ร.ม.) ของ a และ b เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ (a, b)

                ตัวอย่างเช่น           จงหา ห.ร.ม. ของ 36 และ 48

                วิธีทำ      ตัวหารร่วมของ 36 ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36

                                ตัวหารร่วมของ 48 ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±16, ±24, ±48

                                 ตัวหารร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6, 12

                                  ตัวหารร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ที่มีค่ามากที่สุด คือ12

                                นั่นคือ ห.ร.ม. ของ 36 และ 48 คือ 12

                                                               

การหาตัวหารร่วมมากโดยใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิด

                 

                ตัวอย่างเช่น           จงหา ห.ร.ม. ของ 36 และ 48

                วิธีทำ     

                     ในที่นี้ rk = 12

     ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 36 และ 48 คือ 12

                                                               

           จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์

                บทนิยาม          จำนวนเต็ม a และ b จะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันก็ต่อเมื่อ (a, b) = 1

  • ตัวคูณร่วมน้อย

            ตัวคูณร่วมน้อย

                  กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกจำนวนเต็มบวก c ที่มีค่าน้อยที่สุด ซึ่ง a | c และ b | c ว่าเป็น “ตัวคูณร่วมน้อย” (ค.ร.น.) ของ a และ b เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ [a, b]

                ตัวอย่างเช่น           จงหา ค.ร.น. ของ 36 และ 24

                วิธีทำ      พหุคูณที่เป็นบวกของ 36 ได้แก่ 36, 72, 108, 144, …

                                 พหุคูณที่เป็นบวกของ 24 ได้แก่ 24, 48, 72, 96, 120, 144, …

                                  พหุคูณร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 24 ได้แก่ 72, 144, …

                                พหุคูณร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 24 ที่มีค่าน้อยที่สุด คือ 72

                                นั่นคือ ค.ร.น. ของ 36 และ 24 คือ 72