การทดลองสุ่มและแซมเปิลสเปซ

การทดลองสุ่ม คือ การทดลองซึ่งทราบว่าผลลัพธ์อาจจะเป็นอะไรได้บ้าง แต่ไม่สามารถบอกได้อย่างถูกต้องแน่นอนว่าในแต่ละครั้งที่ทดลองผลที่เกิดขึ้นจะเป็นอะไรในบรรดาผลลัพธ์ที่อาจเป็นได้เหล่านั้น

บทนิยาม แซมเปิลสเปซ คือ เซตที่มีสมาชิกเป็นผลลัพธ์ที่อาจจะเป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม

ตัวอย่างที่ 1 ทอดลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง ถ้าผลลัพธ์ที่สนใจ คือ แต้มที่ได้ จงหา ก. เหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มเป็น 4 ข. เหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นแต้มเหมือนกัน

S = { (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4), (6,5),(6,6) }

ตัวอย่างที่ 2 การทอดลูกเต๋าลูกเดียวหนึ่งครั้ง ถือว่าเป็นการทดลองสุ่มเพราะสามารถบอกได้ว่าผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นคือแต้ม 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6 แต่บอกไม่ได้แน่นอนว่าเมื่อทอดลูกเต๋าแล้วจะได้แต้มใด

การทดลองสุ่มที่กล่าวข้างต้น ถ้าผลลัพธ์ที่สนใจ คือ แต้มที่จะได้และให้ S1 แทนแซมเปิลสเปซของการทดลองนี้

จะได้ S1 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

แต่ถ้าสนใจเพียงว่าเต้มที่ได้จะเป็นจำนวนคู่หรือจำนวนคี่ ผลที่ได้จากการทดลองอาจจะเป็นจำนวนคู่หรือจำนวนคี่อย่างใดอย่างหนึ่ง และถ้าให้ S2 เป็นแซมเปิลสเปซของการทดลองสุ่มนี้แล้วจะได้ S2 = { จำนวนคู่, จำนวนคี่ }

จะเห็นว่าในการทดลองสุ่มเดียวกันอาจเขียนแซมเปิลสเปซได้มากกว่าหนึ่งแบบทั้งนี้ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ที่สนใจ

ตัวอย่างที่ 3 ในการตรวจสภาพของสินค้าชนิดหนึ่งซึ่งผลิตจากเครื่องจักรโดยการหยิบขึ้นมาตรวจ 3 ชิ้น หยิบทีละชิ้นโดยไม่เจาะจงถือว่าเป็นการทดลองสุ่ม ถ้าผลลัพธ์ที่สนใจคือสภาพของสินค้าทั้ง 3 ชิ้น ที่หยิบขึ้นมาว่าชำรุดหรือไม่ชำรุด ให้สินค้าที่ชำรุดแทนด้วย “ช” และสินค้าที่ไม่ชำรุดแทนด้วย “ม” แซมเปิลสเปซจะเป็นเซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกดังนี้

S1 = { ชชช, ชชม, ชมช, มชช, ชมม, มชม, มมช, มมม }

แต่ถ้าผลลัพธ์ที่สนใจคือ จำนวนชิ้นที่ชำรุดโดยไม่สนใจว่าเรียงลำดับอย่างไร แซมเปิลสเปซ คือ S2 = { 0, 1, 2, 3 }

ตัวอย่างที่ 4 จงเขียนแซมเปิลสเปซของการทดลองสุ่มในแต่ละข้อต่อไปนี้

(1) ทีมฟุตบอล ก ลงแข่งกับทีมฟุตบอล ข และสนใจผลการแข่งขันของทีม ก

(2) โยนเหรียญหนึ่งอันสี่ครั้งและสนใจจำนวนครั้งที่ขึ้นหัว

(3) ผลิตหลอดไฟฟ้า และสนใจจำนวนหลอดที่เสียเมื่อผลิตครบ 24 ชั่วโมง

(4) หยิบลูกปิงปองหนึ่งลูกออกมาจากกล่องซึ่งมีลูกปิงปองสีขาว สีแดง และสนใจว่าได้ลูกปิงปองสีใด

วิธีทำ ให้ S1, S2, S3 และ S4 เป็นแซมเปิลสเปซของการทดลองสุ่มที่ต้องการตามลำดับ จะได้

S1 = { ชนะ, แพ้, เสมอ }

S2 = { 0, 1, 2, 3, 4 }

S3 = { 0, 1, 2, 3, …, M } เมื่อ M เป็นจำนวนหลอดไฟฟ้าที่สามารถผลิตได้สูงสุดได้ 24 ชั่วโมง

S4 = { สีขาว, สีแดง }

เหตุการณ์ (Events)

ในการทดลองเรามักจะสนใจเกี่ยวกับการเกิดขึ้นของเหตุการณ์มากกว่าสนใจในสมาชิกทั้งหมดของแซมเปิลสเปซ เช่น เมื่อทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง เราสนใจในเหตุการณ์ A เมื่อเหตุการณ์ A คือการทอดลูกเต๋าแล้วได้แต้มเป็นจำนวนคู่ เหตุการณ์นี้จะเกิดขึ้นเมื่อผลลัพธ์เป็นสมาชิกของเซต A = {2, 4, 6} ซึ่งเป็นสับเซตของแซมเปิลสเปซ S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }

เหตุการณ์ คือ สับเซตของแซมเปิลสเปซ นิยมใช้สัญลักษณ์ E แทนเหตุการณ์

จะได้ว่า S และ f ก็เป็นเหตุการณ์ด้วย

ตัวอย่างที่ 5 ในการโยนลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ถ้าผลลัพธ์ที่สนใจคือ แต้มที่ได้

จะได้ S = { 1,2,3,4,5,6 }

ถ้าให้ E₁ เป็นเหตุการณ์ที่ได้แต้มซึ่งหารด้วย 3 ลงตัว จะได้ E₁ = { 3,6 }

E₂ เป็นเหตุการณ์ที่ได้แต้มมากกว่า 2 จะได้ E₂ = { 3,4,5,6 }

ในกรณีทั่วไปเราจะใช้สัญลักษณ์

n(S) แทนจำนวนสมาชิกในแซมเปิลสเปซ S

n(E) แทนจำนวนสมาชิกในเหตุการณ์ E

จากตัวอย่างที่ 6 จะได้ว่า n(S) = 6 , n(E₁) = 2 และ n(E₂) = 4

ตัวอย่างที่ 6 โยนเหรียญ 2 เหรียญ 1 ครั้ง ถ้าผลลัพธ์ที่สนใจ คือ หน้าของเหรียญที่ขึ้น จงหา
ก. เหตุการณ์ที่ได้หัวสองเหรียญ
ข. เหตุการณ์ที่เหรียญขึ้นหน้าเดียวกัน

วิธีทำ จะได้ S = { HH,HT,TH,TT }

ก. เหตุการณ์ที่ได้หัวสองเหรียญ คือ E₁ = { HH }

ข. เหตุการณ์ที่เหรียญขึ้นหน้าเดียวกัน คือ E₂ = { HH , TT }

ตัวอย่างที่ 7 ทอดลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง ถ้าผลลัพธ์ที่สนใจ คือ แต้มที่ได้ จงหา
ก. เหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มเป็น 4
ข. เหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นแต้มเหมือนกัน

วิธีทำ จะได้ S = { (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4), (6,5),(6,6) }

เหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มเป็น 4 คือ E₁ = { (1,3),(2,2),(3,1) }

เหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นแต้มเหมือนกัน E₂ = { (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}

ตัวอย่างที่ 8 ทอดลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง ถ้าผลลัพธ์ที่สนใจ คือ ผลรวมของแต้มที่ได้ เป็น 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 และ 12 จงหา
ก. เหตุการณ์ที่ผลรวมแต้มของลูกเต๋าทั้งสองลูกเป็นจำนวนที่หารด้วย 3 ลงตัว
ข. เหตุการณ์ที่ได้ผลรวมแต้มของลูกเต๋าทั้งสองลูกมากกว่า 12
ค. เหตุการณ์ที่ได้ผลรวมแต้มของลูกเต๋าทั้งสองเป็นจำนวนเฉพาะ

วิธีทำ จะได้ S = { 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 }

เหตุการณ์ที่ผลรวมแต้มของลูกเต๋าทั้งสองลูกเป็นจำนวนที่หารด้วย 3 ลงตัว คือ

E₁ = { 3,6,9,12 }

เหตุการณ์ที่ได้ผลรวมแต้มของลูกเต๋าทั้งสองลูกมากกว่า 12 คือ E₂ =

เหตุการณ์ที่ได้ผลรวมแต้มของลูกเต๋าทั้งสองเป็นจำนวนเฉพาะ คือ E₃ = { 2,3,5,7,11}

ข้อสังเกต

1.  เพราะว่า  f  Ì S  ดังนั้น  f  เป็นเหตุการณ์
2.  เพราะว่า   S  Ì S  ดังนั้น S  เป็นเหตุการณ์
3.  เนื่องจาก S  เป็นเซตจำกัด  ถ้า E  เป็นเหตุการณ์แล้ว
3.1 E  เป็นเซตจำกัด
3.2 0    n(E)   n(S)
3.3 n(E) = 0  ก็ต่อเมื่อ E =  f
3.4 n(E) = n(S)  ก็ต่อเมื่อ E = S