การนำสมบัติของจำนวนจริงไปใช้ในการแก้สมการกำลังสอง
การนำสมบัติของจำนวนจริงไปใช้ในการแก้สมการกำลังสอง
| บทนิยาม | สมการพหุนามตัวแปรเดียว คือ สมการที่อยู่ในรูป | |||
| anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0 | ||||
| เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง ที่เป็นสัมประสิทธิ์ของพหุนาม โดยที่ an ≠ 0 เรียกสมการนี้ว่า “สมการพหุนามกำลัง n“ | ||||
|
ตัวอย่างเช่น
|
x3 – 2x2 + 3x -4 = 0 | |||
| 4x2 + 4x +1 = 0 | ||||
| 2x4 -5x3 -x2 +3x -1 = 0 | ||||
| • การแ้ก้สมการพหุนามเมื่อ n > 2 | ||||
| สมการพหุนามกำลัง n ซึ่งอยู่ในรูป anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0 เมื่อ n > 2 และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง โดยที่ an ≠ 0 จะสามารถหาคำตอบของสมการพหุนามกำลัง n นี้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือช่วยในการแยกตัวประกอบ | ||||
| ทฤษฎีบทเศษเหลือ | ||||
| เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 | ||||
| โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0 | ||||
| ถ้าหารพหุนาม f(x) ด้วยพหุนาม x – c เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆแล้ว เศษของ | ||||
| การหารจะมีค่าเท่ากับ f(c) | ||||
|
||||
| ทฤษฎีบทตัวประกอบ | ||||
| เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 | ||||
| โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0 | ||||
| พหุนาม f(x) นี้จะมี x – c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ f(c) = 0 | ||||
|
||||
| แสดงว่า x – c หาร f(c) ได้ลงตัว | ||||
| นั่นคือ x – c เป็นตัวประกอบของ f(x) | ||||
| ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ | ||||
| เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 | ||||
| โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0 | ||||
ถ้า x – เป็นตัวประกอบของพหุนามของ f(x) โดยที่ m และ k เป็นจำนวนเต็ม |
||||
| ซึ่ง m ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เท่ากับ 1 แล้ว | ||||
| (1) m จะเป็นตัวประกอบของ an | ||||
| (2) k จะเป็นตัวประกอบของ a0 | ||||
| ขั้นตอนการหาคำตอบของสมการโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ มีดังนี้ | ||||
| 1. ถ้า an = 1 ให้หาตัวประกอบ c ของ a0 และตัวประกอบ m ของ an ที่ทำให้ | ||||
| f() = 0 ตามทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ |
||||
|
||||
| จะเป็นพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่าดีกรีของ f(x) อยู่ 1 | ||||
| 3. ถ้าผลหารในข้อ 2. ยังมีดีกรีสูงกว่า 2 ให้แยกตัวประกอบต่อไปอีก โดยใช้วิธีตามข้อ 1. และ 2. | ||||
ทฤษฎีบท (ทฤษฎีบทเศษเหลือ: Remainder Theorem)
ถ้าหารพหุนาม p(x) ด้วย x – c เมื่อ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้ว เศษจากการหารจะเท่ากับ p(c)
เช่น
ตัวอย่าง จงหาเศษเหลือจากการหาร x4 – 5x3 + 2x2 – x + 2 ด้วย x – 3
วิธีทำ ในที่นี้ x – c = x – 3 ดังนั้น c = 3
ใ้ห้ p(x) = x4 – 5x3 + 2x2 – x + 2
เศษเหลือจากการหาร p(x) ด้วย x – 3 คือ p(3)
จะได้ p(3) = 34 – 5(33)+ 2(32) – 3 + 2 = 81 – 185 + 18 – 3 + 2 = -87
ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ
เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0
ถ้า x – เป็นตัวประกอบของพหุนามของ f(x) โดยที่ m และ k เป็นจำนวนเต็ม
ซึ่ง m ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เท่ากับ 1 แล้ว
(1) m จะเป็นตัวประกอบของ an
(2) k จะเป็นตัวประกอบของ a0
ขั้นตอนการหาคำตอบของสมการโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ มีดังนี้
1. ถ้า an = 1 ให้หาตัวประกอบ c ของ a0 และตัวประกอบ m ของ an ที่ทำให้
จะเป็นพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่าดีกรีของ f(x) อยู่ 1
3. ถ้าผลหารในข้อ 2. ยังมีดีกรีสูงกว่า 2 ให้แยกตัวประกอบต่อไปอีก โดยใช้วิธีตามข้อ 1. และ 2.
ตัวอย่างที่ 1 จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 – 2x2 – x + 2= 0
วิธีทำ ให้ f(x) = x3 – 2x2 – x + 2
∴ f(1) = 1 – 2 -1 + 2 = 0
∴ x – 1 เป็นตัวประกอบของ f(x)
∴ = x2 – x – 2
x3 – 2x2 – x + 2 = (x-1)(x2 – x – 2)
= (x-1)(x-2)(x+1)
x3 – 2x2 – x + 2 = 0
(x-1)(x-2)(x+1) = 0
x = 1, 2, –1
∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-1, 1, 2}
ตัวอย่างที่ 2 จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 – 10x2 + 27x –18 = 0
วิธีทำ ให้ f(x) = x3 – 10x2 + 27x –18
∴ f(1) = 1 – 10 + 27 -18 = 0
∴ x – 1 เป็นตัวประกอบของ f(x)
∴ x3 – 10x2 + 27x –18 = (x-1)(x2 – 9x + 18)
= (x-1)(x-3)(x-6)
x3 – 10x2 + 27x –18 = 0
(x – 1) (x – 3) (x – 6) = 0
x = 1, 3, 6
∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {1, 3, 6}
ตัวอย่างที่ 3 จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 – x2 – 5x –3 = 0
วิธีทำ ให้ f(x) = x3 – x2 – 5x –3
∴ f(3) = 33 -32 -5(3) – 3= 0
= 27 – 9 – 15 – 3
= 0
∴ x – 3 เป็นตัวประกอบของ f(x)
∴ x3 – x2 – 5x –3 = (x-3)(x2 + 2x + 1)
= (x-3)(x+1)(x+1)
x3 – x2 – 5x – 3 = 0
(x-3)(x+1)(x+1) = 0
x = 3, –1
∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-1, 3}
ตัวอย่างที่ 4 จงหาเซตคำตอบของสมการ 2x3 – 3x2 – 17x +30 = 0
วิธีทำ ให้ f(x) = 2x3 – 3x2 – 17x +30
∴ f(2) = 2(2)3 -3(2)2 -17(2) +30 = 0
= 16 – 12 – 34 +30
= 0
∴ x – 2 เป็นตัวประกอบของ f(x)
∴ 2x3 – 3x2 – 17x +30 = (x-2)(2x2 + x – 15)
= (x-2)(2x – 5)(x+3)
2x3 – 3x2 – 17x + 30 = 0
(x – 2)(2x – 5)(x + 3) = 0
x =2, –3
∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-3, 2}
ตัวอย่างที่ 5 จงหาเซตคำตอบของสมการ 6x3 + 11x2 – 4x – 4 = 0
วิธีทำ ให้ f(x) = 6x3 + 11x2 – 4x – 4
∴ f(-2) = 6(-2)3 -11(-2)2 -4(-2) – 4= 0
= -48 + 44 + 8 – 4
= 0
∴ x + 2 เป็นตัวประกอบของ f(x)
∴ 6x3 + 11x2 – 4x – 4 = (x+2)(6x2 – x – 2)
= (x+2)(3x-2)(2x+1)
6x3 + 11x2 – 4x – 4= 0
(x +- 2)(3x – 2)(2x + 1) = 0
x = –2
∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-2}
สมบัติของการไม่เท่ากัน
• สมบัติของการไม่เท่ากัน
กำหนดให้ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
1. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c
2. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a > b แล้ว a + c > b+ c
3. จำนวนจริงบวกและจำนวนจริงลบ
a เป็นจำนวนจริงบวก ก็ต่อเมื่อ a > 0
a เป็นจำนวนจริงลบ ก็ต่อเมื่อ a < 0
4. สมบัติการคูณด้วยจำนวนเท่ากันที่ไม่เท่ากับศูนย์
ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc
ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc
5. สมบัติการตัดออกสำหรับการบวก ถ้า a + c > b + c แล้ว a > b
6. สมบัติการตัดออกสำหรับการคูณ
ถ้า ac > bc และ c > 0 แล้ว a > b
ถ้า ac > bc และ c < 0 แล้ว a < b
บทนิยาม a ≤ b หมายถึง a น้อยกว่าหรือเท่ากับ b
a ≥ b หมายถึง a มากกว่าหรือเท่ากับ b
a < b < c หมายถึง a < b และ b < c
a ≤ b ≤ c หมายถึง a ≤ b และ b ≤ c
ค่าสมบูรณ์
บทนิยาม กำหนดให้ a เป็นจำนวนจริง
นั่นคือ ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริงใดๆ ต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ
• สมบัติของค่าสัมบูรณ์
1. |x| = |-x|
2. |xy| = |x||y|
3. | x – y | = | y – x |
4. |x|2 = x2
5. | x + y | ≤ |x| +|y|
6. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก
|x| < a หมายถึง –a < x < a
|x| ≤ a หมายถึง –a ≤ x ≤ a
7. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก
|x| > a หมายถึง x < -a หรือ x > a
|x| ≥ a หมายถึง x ≤ -a หรือ x ≥ a
สัจพจน์ความบริบูรณ์ หรือสัจพจน์การมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด (Least upper bound axiom)
บทนิยาม ถ้า S เป็นสับเซตของ R
S จะมีขอบเขตบนก็ต่อเมื่อ มีจำนวนจริง a ที่ทำให้ x ≤ a
สำหรับจำนวนจริง x ทุกตัวใน S เรียกจำนวนจริง a นี้ว่า “ขอบเขตบนของ S”
a จะเป็นขอบเขตบนน้อยสุดของ S ก็ต่อเมื่อ
1. a เป็นขอบเขตบนของ S
2. ถ้า b เป็นขอบเขตบนของ S แล้วจะได้ว่า a ≤ b
• สัจพจน์การมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด
ถ้า S เป็นสับเซตของ R โดยที่ S ≠ Ø และ S มีขอบเขตบนแล้ว S จะมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด
ตัวอย่างที่ 1 ให้ S เท่ากับช่วงปิด [1, 6]
จะได้ว่า 6 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 6 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 6
ตัวอย่างที่ 2 ให้ S เท่ากับช่วงเปิด (2, 7)
จะได้ว่า 7 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 7 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 7
ตัวอย่างที่ 3 ให้ S = {1, 0, 3, 5, 4}
จะได้ว่า 5 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 5 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 5
ตัวอย่างที่ 4 ให้ S = [-2, ∞]
จะได้ว่า S ไม่มีขอบเขตบน
ตัวอย่างที่ 5 ให้ S ≠ Ø
จะได้ว่า จำนวนจริงทุกจำนวนเป็นค่าขอบเขตบนของ S ดังนั้นเซตว่างจึงไม่มีขอบเขตบนน้อยสุด
บทนิยาม กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มใดๆ โดยที่ b ≠ 0
b หาร a ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ a = bn
และเขียนแทน “b หาร a ลงตัว” ได้ด้วยสัญลักษณ์ b | a
จากบทนิยาม ถ้า b หาร a ไม่ลงตัว แสดงว่าไม่มีจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ a = bn และ เขียนแทน “b หาร a ไม่ลงตัว” ได้ด้วยสัญลักษณ์ b † a
ตัวอย่างเช่น 3 | 9 เพราะมี n = 3 ที่ทำให้ 9 = 3n
-5 | 10 เพราะมี n = –2 ที่ทำให้ 10 = +5n
6 | 0 เพราะมี n = 0 ที่ทำให้ 0 = 6n
สมบัติการหารลงตัว
ทฤษฎีบทที่ 1 กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ
ถ้า a | b และ b | c แล้วจะได้ a | c
ทฤษฎีบทที่ 2 กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มบวก
ถ้า a | b แล้วจะได้ a ≤ b
ทฤษฎีบทที่ 3 กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ
ถ้า a | b และ b | c แล้วจะได้ a | bx + cy
เมื่อ x, y เป็นจำนวนเต็มใดๆ
