1. การนำ ห.ร.ม. ไปประยุกต์ใช้กับการหาร

ห.ร.ม. ของ 15 และ 24 คือ 3

แต่  15           =        16 – 1

      16          =        (x × 3) + 1

      16 – 1     =        x × 3

      24           =        26 – 2

      26           =        (y × 3) + 2

                26 – 2     =        y × 3

จะเห็นว่า ถ้านำเศษมาลบออกจากตัวตั้ง ผลลัพธ์ที่ได้จะหารด้วย 3 ลงตัว

ตัวอย่างที่ 1 จงหาจำนวนที่มากที่สุดซึ่งหาร 212 และ 388 แล้วเหลือเศษ 2 และ 3 ตามลำดับ

วิธีทำ             จำนวนที่นำไปหา ห.ร.ม. ได้ คือ

                    212 – 2 = 210

                   388 – 3 = 385

จำนวนที่มากที่สุด ซึ่งหาร 210 และ 385 ลงตัว คือ    ห.ร.ม. ของสองจำนวนนั้น

1        210     385       1

                             175     210              

                               35     175       5

                                      175

                                        0

                                           

ห.ร.ม. ของ 210 และ 385 คือ 35

ดังนั้น จำนวนที่มากที่สุดซึ่งหาร 212 และ 388 เหลือเศษ 2 และ 3 ตามลำดับ คือ 35

ตอบ 35

 

ตัวอย่างที่ 2 จงหาจำนวนที่มากที่สุด ซึ่งเมื่อนำไปหาร 856 และ 948 แล้วเหลือเศษ 5 เท่ากัน

วิธีทำ             จำนวนที่นำไปหา  ห.ร.ม. ได้ คือ

                   856 – 5 = 851

                   948 – 5 = 943

                   จำนวนที่มากที่สุดซึ่งหาร 851 และ 943 ลงตัว  

                                                                                         

ห.ร.ม. ของ 851 และ 943 คือ 23

ดังนั้น จำนวนที่มากที่สุดซึ่งหาร 851 และ 943 เหลือเศษ 5 เท่ากัน คือ 23

ตอบ 23

2. การนำ ห.ร.ม. ไปใช้กับการทอนเศษส่วนให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

ตัวอย่าง จงทอน  ให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

             ห.ร.ม. ของ 24 และ 42 คือ 6

  เศษส่วนอย่างต่ำ คือ เศษส่วนที่มี ห.ร.ม. ของตัวเศษและตัวส่วนเป็น 1   เช่น , ,  

3. การนำ ห.ร.ม. ไปใช้แก้โจทย์ปัญหา

ตัวอย่างที่ 1 มีเชือกอยู่สามเส้น ยาวเส้นละ 48, 60 และ 108 เมตร ถ้าตัดแบ่งให้ยาว เส้นละเท่าๆ กันให้ยาวที่สุดเท่าที่จะยาวได้ จะได้เชือกยาวเส้นละกี่เมตร และได้เชือกทั้งหมดกี่เส้น

วิธีทำ            48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3

                 60 = 2 × 2 × 3 × 5

                 108 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

                  ห.ร.ม. คือ 2 × 2 × 3 หรือ 12

                  ดังนั้น จะแบ่งเชือกได้ยาวที่สุดเส้นละ 12 เมตร

                  เชือกเส้นแรกแบ่งได้     = 4 เส้น

                  เชือกเส้นสองแบ่งได้     = 5 เส้น

                  เชือกเส้นสามแบ่งได้     = 9 เส้น

                  ดังนั้น จะได้เชือกทั้งหมด  4 + 5 + 9 = 18 เมตร

ตอบ จะได้เชือกยาวเส้นละ 12 เมตร และได้เชือกยาวทั้งหมด 18 เส้น

ตัวอย่างที่ 2 ไม้อัดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 1.20 เมตร ยาว 2.40 เมตร ต้องการตัดไม้อัดนี้ให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสให้มีพื้นที่มากที่สุดจะได้ไม้อัดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละเท่าไรและได้ไม้อัดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสกี่แผ่น

วิธีทำ  ไม้อัดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 1.20 เมตร ยาว 2.40 เมตร ต้องการตัดไม้อัดนี้ ให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสให้มีพื้นที่มากที่สุด

          ดังนั้น ต้องการหาความยาวที่ยาวที่สุดของด้านของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส   คือ ห.ร.ม. ของ 1.20 เมตร และ 2.40 เมตร

ไม้อัดกว้าง 1.20 เมตร หรือ 120 เซนติเมตร

ไม้อัดยาว 2.40 เมตร หรือ 240 เซนติเมตร

120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5

240 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5

ห.ร.ม. คือ 2 × 2× 2 × 3 × 5 หรือ 120

ไม้อัดด้านกว้างแบ่งได้       = 1 ส่วน

ไม้อัดด้านยาวแบ่งได้         = 2 ส่วน

ได้ไม้อัดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 1 × 2 = 2 แผ่น

         ดังนั้น ความยาวที่มากที่สุดของด้านไม้อัดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็น  120 เซนติเมตร หรือ 120 เมตร ตัดไม้อัดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้ 2 แผ่น

ตอบ ไม้อัดยาวด้านละ 1.20 เมตร จำนวน 2 แผ่น

ตัวอย่างที่ 3 วิทยาต้องการแบ่งกระดาษบันทึก 24 แผ่น และดินสอ 36 แท่ง      ให้แก่นักเรียนด้วยจำนวนเท่าๆ กัน โดยไม่เหลือกระดาษบันทึกหรือดินสอ           ถ้าวิทยาตกลงใจที่จะแบ่งกระดาษบันทึกและดินสอให้จำนวนนักเรียนมากที่สุดเท่าที่จะสามารถแบ่งได้ จะมีจำนวนนักเรียนกี่คนที่จะได้รับส่วนแบ่งนี้ และได้รับส่วนแบ่งอย่างไร

วิธีทำ  วิทยาต้องการแบ่งกระดาษบันทึก 24 แผ่น และดินสอ 36 แท่ง ให้นักเรียน   แต่ละคนมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้

ดังนั้น จะต้องหา ห.ร.ม. ของ 24 และ 36

           24 = 2 × 2 × 2 × 3

           36 = 2 × 2 × 3 × 3

ห.ร.ม. ของ 24 และ 36 คือ 2 × 2 × 3 = 12

ดังนั้น มีนักเรียน 12 คนได้รับส่วนแบ่ง

แต่ละคนได้รับกระดาษบันทึก   = 2 แผ่น

ได้รับดินสอ  = 3 แท่ง

ตอบ มีนักเรียน 12 คน ได้รับส่วนแบ่งและแต่ละคนได้รับกระดาษ บันทึก 2 แผ่น ดินสอ 3 แท่ง

ข้อควรสังเกต       

ในการนำ ห.ร.ม. มาใช้แก้โจทย์ปัญหานั้น จะเป็นโจทย์ปัญหาที่เกี่ยวกับการแบ่งจำนวนสิ่งต่างๆ ออกเป็นส่วน ส่วนละเท่าๆ กัน โดยส่วนแบ่งแต่ละส่วนมีปริมาณมากที่สุดและไม่เหลือเศษ

ตัวอย่างที่ 4 แม่ค้าต้องการจัดมะม่วง 4 ผล ชมพู่ 8 ผล พุทรา 12 ผล ใส่ถาดโดยให้แต่ละถาดมีผลไม้แต่ละชนิดมากที่สุดและไม่ปนกัน จะได้ถาดละกี่ผลและแบ่งได้กี่ถาด

วิธีทำ             มีมะม่วง 4 ผล ชมพู่ 8 ผล พุทรา 12 ผล

ห.ร.ม. ของ 4, 8 และ 12 คือ 4

ดังนั้น แบ่งผลไม้ได้ถาดละ 4 ผล

จะแบ่งมะม่วงได้      4 ÷ 4              =        1        ถาด

จะแบ่งชมพู่ได้        8 ÷ 4              =        2        ถาด

จะแบ่งพุทราได้       12 ÷ 4            =        3        ถาด

ดังนั้น แบ่งผลไม้ได้ทั้งหมด 1+ 2 + 3 = 6 ถาด

ตอบ ได้ผลไม้ถาดละ 4 ผล และแบ่งได้ 6 ถาด