การเปลี่ยนแปลงพาราโบลาในฟังก์ชันกำลังสอง

ลักษณะทั่วไปบางประการของฟังก์ชันกำลังสอง

• 1 จุดยอด
• ความสมมาตร 1 เส้น
• ดีกรีสูงสุด (เลขชี้กำลังสูงสุด) ของฟังก์ชันคือ 2
• กราฟเป็นพาราโบลา

กราฟฟังก์ชันกำลังสอง

พหุนามกำลังสองอยู่ในรูปของ ax² + bx + c เมื่อ a, b และ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ เรานิยามเป็นฟังก์ชัน

P(x) = ax² + bx + c

= a[(x + b/(2a))² –  b²/(4a²) + c/a]

= a[(x + b/(2a))²  – (b² – 4ac)/(4a²)]

ถ้ากำหนดให้  h = – b/2a และ k = – (b² – 4ac)/(4a) ฟังก์ชันที่อยู่รูป

P(x) = a(x – h)² + k

มีกราฟเป็นรูปพาราโบลา

กรณีที่ a > 0 จะเป็นกราฟพาราโบลาหงายและมีต่ำสุดอยู่ที่จุด (h,k)

กรณีที่ a < 0 จะเป็นกราฟพาราโบลาคว่ำมีจุดสูงสุดอยู่ที่จุด (h,k)

สรุป        ลักษณะของกราฟที่กำหนดด้วยสมการ    y   =   ax² + k

ถ้า  a  >  0   ได้พาราโบลาหงาย   จุดต่ำสุดอยู่ที่  (0, k)  ค่าต่ำสุด  =  k

ถ้า  a  <  0   ได้พาราโบลาคว่ำ  จุดสูงสุดอยู่ที่  (0, k)   ค่าสูงสุด  =  k

แกนสมมาตรคือ  แกน  y  หรือเส้นตรง  x  =  0   สมการแกนสมมาตรคือ  x  =  0

ถ้า   k > 0   จุดวกกลับอยู่เหนือแกน  X

ถ้า   k < 0   จุดวกกลับอยู่ใต้แกน  X

ถ้า  a, k  มีเครื่องหมายเหมือนกัน  กราฟไม่ตัดแกน  X

ถ้า  a, k  มีเครื่องหมายต่างกัน  กราฟจะตัดแกน  X

                3.  กราฟของ   y  =  a(x – h)²     เมื่อ   a ¹ 0  และ h > 0 

                      3.1)  กราฟที่กำหนดด้วยสมการ    y   =   a(x – h)²    เมื่อ  a ¹ 0  และ  h  ¹ 0   จะเป็นกราฟ

พาราโบลาที่มีจุดวกกลับหรือจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุดอยู่ที่  (h, 0) และแกนสมมาตรคือเส้นตรง  x = h

3.2)  กราฟของ   y  =  a(x – h)²     เมื่อ   a ¹ 0  และ  h < 0 

ถ้า  h < 0   จะได้สมการใหม่เป็น     y        =    a(x – (-h))²

=    a(x + h)²

สรุป        ลักษณะของกราฟที่กำหนดด้วยสมการ    y   =   a(x – h)²

ถ้า  a  >  0   ได้พาราโบลาหงาย   จุดต่ำสุดอยู่ที่  (h, 0)  ค่าต่ำสุด  =  0

ถ้า  a  <  0   ได้พาราโบลาคว่ำ  จุดสูงสุดอยู่ที่  (h, 0)   ค่าสูงสุด  =  0

แกนสมมาตรคือ  เส้นตรง  x  =  h   สมการแกนสมมาตรคือ  x  =  h

h > 0   แกนสมมาตรอยู่ทางซ้ายของแกน  Y

h < 0   แกนสมมาตรอยู่ทางขวาของแกน  Y

                4.  กราฟของฟังก์ชันกำลังสองที่กำหนดด้วยสมการ  y  =  a(x – h)² + k  เมื่อ  a ¹ 0 ,  h ¹ 0
และ  k ¹ 0   จะเป็นพาราโบลาที่มีจุดวกกลับหรือจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุดอยู่ที่  (h, k)  และมีแกนสมมาตรคือ  เส้นตรง  x  =  h

สรุป        ลักษณะของกราฟที่กำหนดด้วยสมการ    y   =   a(x – h)² + k

เมื่อ  a  >  0   ได้พาราโบลาหงาย   จุดต่ำสุดอยู่ที่  (h, k)  ค่าต่ำสุด  =  k

เมื่อ  a  <  0   ได้พาราโบลาคว่ำ  จุดสูงสุดอยู่ที่  (h, k)   ค่าสูงสุด  =  k

ถ้า   k > 0   จุดวกกลับอยู่เหนือแกน  X

ถ้า   k < 0   จุดวกกลับอยู่ใต้แกน  X

แกนสมมาตร  คือ  เส้นตรง  x  =  h   สมการแกนสมมาตรคือ  x  =  h

ถ้า  h > 0   แกนสมมาตรอยู่ทางซ้ายมือของแกน  Y

ถ้า  h < 0   แกนสมมาตรอยู่ทางขวามือของแกน  Y

ถ้า  a  และ  k  มีเครื่องหมายเหมือนกันกราฟไม่ตัดแกน  X

ถ้า  a  และ  k  มีเครื่องหมายต่างกันกราฟตัดแกน  X

                5.  กราฟที่กำหนดด้วยสมการ   y  =  ax² + bx + c   เมื่อ               a ¹ 0   การเขียนกราฟควรจัดสมการให้อยู่ในรูป   

y   =   a(x – h)² + k   จะทำให้เขียนกราฟได้ง่ายขึ้น 

                จากสมการ    y   =   ax² + bx + c    สามารถเปลี่ยนให้อยู่ในรูป    y   =   a(x – h)² + k   ได้โดยใช้ความรู้เรื่องกำลังสองสมบูรณ์  

          ตัวอย่าง    จงหาจุดวกกลับของกราฟของฟังก์ชัน     y   =   2x² + 4x – 16