การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์
พิจารณาการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองต่อไปนี้
1. x2 + 6x + 9 = (x + 3)(x + 3)
หรือ x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
2. x2 – 8x + 16 = (x – 4)(x – 4)
หรือ x2 – 8x + 16 = (x – 4)2
3. 4x2 + 4x + 1 = (2x + 1)(2x + 1)
หรือ 4x2 + 4x + 1 = (2x + 1)2
4. 9x2 – 24x + 16 = (3x – 4)(3x – 4)
หรือ 9x2 – 24x + 16 = (3x – 4)2
จากตารางการแยกตัวประกอบของพหุนามทั้งสี่ข้างต้นจะเห็นว่า การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง
ในแต่ละข้อ จะได้ตัวประกอบเป็นพหุนามดีกรีหนึ่งที่ซ้ำกัน จึงเขียนการแยกตัวประกอบของแต่ละพหุนามดีกรีสอง
ข้างต้น ได้เป็นกำลังสองของพหุนามดีกรีหนึ่ง เรียกพหุนามดีกรีสองที่มีลักษณะเช่นนี้ว่า พหุนามดีกรีสอง
ที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์
พหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ดังตัวอย่างข้างต้น มีลักษณะพิเศษที่สังเกตได้ ดังนี้
1. x2 + 6x + 9 = x2 + 2(3)x + 32
(พจน์หน้า)2 + 2(พจน์หน้า)(พจน์หลัง) + (พจน์หลัง)2 = (พจน์หน้า + พจน์หลัง)2
2. x2 – 8x + 16 = x2 – 2(4)x + 42
= (x – 4)2
ถ้าให้ x เป็นพจน์หน้าและ 4 เป็นพจน์หลัง จะเขียนความสัมพันธ์ได้ดังนี้
(พจน์หน้า)2 – 2(พจน์หน้า)(พจน์หลัง) + (พจน์หลัง)2 = (พจน์หน้า – พจน์หลัง)2
3. 4x2 + 4x + 1 = (2x)2 – 2(2x)(1) + 12
= (2x + 1)2
ถ้าให้ 2x เป็นพจน์หน้าและ 1 เป็นพจน์หลัง จะเขียนความสัมพันธ์ได้ดังนี้
(พจน์หน้า)2 + 2(พจน์หน้า)(พจน์หลัง) + (พจน์หลัง)2 = (พจน์หน้า + พจน์หลัง)2
4. 9x2 – 24x + 16 = (3x)2 – 2(3x)(4) + 42
= (3x – 4)2
ถ้าให้ 3x เป็นพจน์หน้าและ 4 เป็นพจน์หลัง จะเขียนความสัมพันธ์ได้ดังนี้
(พจน์หน้า)2 – 2(พจน์หน้า)(พจน์หลัง) + (พจน์หลัง)2 = (พจน์หน้า – พจน์หลัง)2
ในกรณีทั่วไป ถ้าให้ A แทนพจน์หน้า และ B แทนพจน์หลัง จะแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง
ที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ได้ตามสูตร ดังนี้
A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
A2 − 2AB + B2 = (A − B)2
ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ x2 + 24x + 144
วิธีทำ x2 + 24x + 144 = x2 + 2(12)x + (12)2
ดังนั้น x2 + 24x + 144 = (x + 12)2
ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ x2 + 30x + 225
วิธีทำ x2 + 30x + 225 = x2 + 2(15)x + (15)2
ดังนั้น x2 + 30x + 225 = (x + 15)2
วิธีทำ x2 – 26x + 169 = x2 – 2(13)x + (13)2
ดังนั้น x2 – 26x + 169 = (x – 13)2
วิธีทำ x2 – 32x + 256 = x2 – 2(16)x + (16)2
ดังนั้น x2 – 32x + 256 = (x – 16)2
ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบของ 25x2 + 20x + 4
วิธีทำ 25x2 + 20x + 4 = (5x)2 + 2(5x)(2) + 22
ดังนั้น 25x2 + 20x + 4 = (5x + 2)2
วิธีทำ 4x2 – 12x + 9 = (2x)2 – 2(2x)(3) + 32
ดังนั้น 4x2 – 12x + 9 = (2x – 3)2
เราสามารถใช้สูตร
A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
A2 – 2AB + B2 = (A – B)2
ในกรณีที่ A และ B เป็นพหุนาม ในการแยกตัวประกอบ ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 7 จงแยกตัวประกอบของ (x + 1)2 + 14(x + 1) + 49
วิธีทำ (x + 1)2 + 14(x + 1) + 49 = (x + 1)2 + 2(x + 1)(7) + 72
= [(x + 1) + 7]2 [ A คือ x + 1 และ B คือ 7 ]
ดังนั้น (x + 1)2 + 14(x + 1) + 49 = (x + 8)2
ตัวอย่างที่ 8 จงแยกตัวประกอบของ 4x2 – 4(x2 – 3x) + (x – 3)2
วิธีทำ 4x2 – 4(x2 – 3x) + (x – 3)2 = (2x)2 – 4x(x – 3) + (x – 3)2
= (2x)2 – 2(2x)(x – 3) + (x – 3)2
= [2x – (x – 3)]2
= (2x – x + 3)2 [ A คือ 2x และ B คือ x – 3 ]
ดังนั้น 4x2– 4(x2 – 3x) + (x – 3)2 = (x + 3)2
จำไว้ใช้
จากสูตร A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
และ A2 – 2AB + B2 = (A – B)2
เพื่อให้ง่ายต่อการจดจำในการนำไปใช้ ให้จำย่อ ๆ ดังนี้
(หน้า)2 + 2(หน้า)(หลัง) + (หลัง)2 = (หน้า + หลัง)2
และ (หน้า)2 – 2(หน้า)(หลัง) + (หลัง)2 = (หน้า – หลัง)2
พิจารณาการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่มีสองตัวแปร และ เป็นกำลังสองสมบูรณ์
จากตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง
1. 9x2 + 12xy + 4y2 = (3x)2 + 2(3x)(2y) + (2y)2
= (3x + 2y)2
2. 36x2 – 12xy + y2 = (6x)2 – 2(6x)(y) + (y)2
= (6x – y)2
ตัวอย่างข้างต้นแสดงการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่มีสองตัวแปรและเป็นกำลังสองสมบูรณ์
ซึ่งทำได้เช่นเดียวกันกับพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์โดยใช้สูตรดังนี้
(หน้า)2 + 2(หน้า)(หลัง) + (หลัง)2 = (หน้า + หลัง)2
และ (หน้า)2 – 2(หน้า)(หลัง) + (หลัง)2 = (หน้า – หลัง)2
