กำหนดการเชิงเส้นโดยวิธีการใช้กราฟ
ในการแก้ปัญหากำหนดการเชิงเส้นนั้นต้องเริ่มต้นด้วยการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ซึ่งประกอบด้วย 2 ส่วน คือ
ส่วนที่ 1 ส่วนที่เป็นเป้าหมาย จะอยู่ในรูปของ สมการจุดประสงค์(ในเอกสารเล่มนี้ใช้ P)
ส่วนที่ 2 ส่วนที่เป็นข้อจำกัด จะอยู่ในรูปของ อสมการข้อจำกัด
ซึ่งเป็นการแปลงสถานการณ์ปัญหาให้เป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์ จากนั้นจึงหาคำตอบของปัญหาด้วยวิธีการต่าง ๆ ในการศึกษาครั้งนี้ใช้การกราฟช่วยในการหาคำตอบ
ข้อจำกัด
1.ถ้ากำหนดการเชิงเส้น มีคำตอบที่เหมาะสมเพียงคำตอบเดียว แล้วคำตอบนั้นจะต้องอยู่ที่จุดหักมุมกราฟของระบบอสมการ
- ถ้าสมการจุดประสงค์มีค่าน้อยที่สุด หรือมากที่สุด ณ. จุดหักมุม 2 จุดที่มีแขนของจุดหักมุมร่วมกัน แล้วสมการจุดประสงค์ดังกล่าวจะมีค่าน้อยที่สุด หรือมากที่สุด ณ. จุดทุกจุดบนส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดหักมุม 2 จุดนั้น แสดงว่าคำตอบที่เหมาะสม จะมีจำนวนนับไม่ถ้วน
หลักการการแก้ปัญหากำหนดการเชิงเส้นโดยวิธีใช้กราฟ
กำหนดตัวแปรที่ใช้ในฟังก์ชันเป้าหมายว่า x แทนตัวแปรอะไร y แทนตัวแปรอะไร- สมการจุดประสงค์ให้สอดคล้องกับที่โจทย์ต้องการ สร้างเงื่อนไขบังคับตามข้อมูลที่ โจทย์สั่ง โดยเขียนแบบจำลองทางคณิตศาสตร์
3.หาผลลัพธ์โดยวิธีที่ดีและง่ายที่สุดคือ การเขียนกราฟตามเงื่อนไขบังคับ เมื่อเขียนกราฟแล้ว ให้แรเงา อาณาบริเวณที่เป็นไปได
4.หาจุดยอดมุมทั้งหมดของบริเวณที่แรเงา
5.นำแต่ละจุดไปแทนค่าในฟังก์ชันเป้าหมาย จะได้ค่าสูงสุดหรือต่ำสุดตามต้องการ
ตัวอย่าง 2 บริษัทผลิตโทรทัศน์แห่งหนึ่งผลิตโทรทัศน์ขนาด 14 นิ้ว อยู่ 2 ชนิด คือ
ชนิดขาว-ดำและชนิดสี บริษัทมีความสามารถในการผลิตโทรทัศน์ทั้ง 2 ชนิดได้อย่างมาก 300 เครื่องต่อสัปดาห์ โดยเสียเงินในการผลิตโทรทัศน์ชนิดขาว-ดำ เครื่องละ 3,600 บาท และชนิดสีเครื่องละ 5,400 บาท ทางบริษัทได้กำหนดจำนวนเงินในการผลิตโทรทัศน์ทั้งหมดไม่เกิน 1,296,000 บาท ถ้าโทรทัศน์ชนิดขาว-ดำ ขายได้กำไรเครื่องละ 1,800 บาท และชนิดสีขายได้กำไรเครื่องละ 2,200 บาท อยากทราบว่าบริษัทนี้ควรผลิตโทรทัศน์ชนิดขาว-ดำ และชนิดสีอย่างละกี่เครื่องต่อสัปดาห์จึงจะได้กำไรมากที่สุดและได้กำไรเท่าใด
วิธีทำ 1.กําหนด P แทนกำไรทั้งหมด
x แทนจำนวนการผลิตโทรทัศน์ชนิดขาว-ดำ (เครื่อง/สัปดาห์)
y แทนจำนวนการผลิตโทรทัศน์ชนิดสี (เครื่อง/สัปดาห์)
| ชนิด
ของโทรทัศน์ |
ลงทุน
(บาท/เครื่อง) |
กำไร
(บาท/อ่าง) |
จำนวนที่ผลิต
(เครื่อง/สัปดาห์) |
| ขาว-ดำ | 3,600 | 1,800 | x ≥ 0 |
| สี | 5,400 | 2,200 | y≥ 0 |
2.สร้างฟังก์ชันจุดประสงค์ให้สอดคล้องกับที่โจทย์ต้องการ สร้างเงื่อนไขบังคับตามข้อมูลที่
โจทย์สั่ง โดยเขียนแบบจำลองทางคณิตศาสตร์
สมการจุดประสงค์ คือ P = 1,800x + 2,200y
อสมการข้อจำกัด x + y ≤ 300
3,600x + 5,400y ≤ 1,269,000
x ≥ 0
y ≥ 0
3.หาผลลัพธ์โดยวิธีที่ดีและง่ายที่สุดคือ การเขียนกราฟตามเงื่อนไขบังคับ เมื่อเขียนกราฟแล้ว ให้แรเงา อาณาบริเวณที่เป็นไปได้
4.หาจุดยอดมุมทั้งหมดของบริเวณที่แรเงา
คือ (0 , 0) , (0 , 240) , (180 , 120) , (300 , 0)
5.นำแต่ละจุดไปแทนคำในฟังก์ชันเป้าหมาย จะได้ค่าสูงสุดหรือต่ำสุดตามต้องการ
| พิกัด (x,y) | P = 1,800x + 2,200y |
| (0,0) | P = 1,800(0) + 2,200(0) |
| (0,240) | P = 1,800(0) + 2,200(240) = 528,000 |
| (180,240) | P = 1,800(180) + 2,200(120) = 588,000 |
| (300,0) | P = 1,800(300) + 2,200(0) = 540,000 |
จากตารางจะพบว่า ค่ามากที่สุดของ P คือ 588,000 เมื่อ x = 180 y = 12
ดังนั้น ในแต่ละสัปดาห์ควรผลิตโทรทัศน์ขาว-ดำ จำนวน 180 เครื่อง และผลิตโทรทัศน์สี จำนวน 120 เครื่อง จึงจะได้กำไร 588,000 บาท ซึ่งเป็นกำไรที่มากที่สุด
