คณิตศาสตร์พื้นฐานเนื้อหา คณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.2 หลักสูตรใหม่ของ สสวท

 สมบัติของเลขยกกำลัง

1 การดำเนินการของเลขยกกำลัง

2 สมบัติอื่นๆ ของเลขยกกำลัง

การดำเนินการของเลขยกกำลัง บทนิยามของเลขยกกำลัง

บทนิยาม  ถ้า a แทนจำนวนใด ๆ และ n แทนจำนวนเต็มบวก “a ยกกำลัง n” เขียนแทนด้วย aⁿ  มีความหมายดังนี้

การยกกำลัง   (อังกฤษ:Exponentiation)   คือ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่าง
หนึ่งเขียนอยูู่่ในรูป    ซึ่งประกอบด้วยสองจำนวน  คือ  ฐาน  และ  เลขชี้กำลัง  โดย
พื้นฐานแล้วการยกกำลังจะมีความหมายเหมือนกับการคูณ ซ้ำๆเป็นจำนวน  ตัว  เมื่อ 
เป็นจำนวนเต็มบวก
a ⁿ = a x a x a x … x a  (a คูณกัน n ตัว)

นิยาม  ถ้า a เป็นจำนวนใด ๆ และ n เป็นจำนวนเต็มบวก  “ a ยกกำลัง n “ หรือ  “ a กำลัง n “

เขียนแทนด้วย aมีความหมายดังนี้  a= aaaaa …..a (a คูณกัน  n  ตัว)

จากนิยาม จะเรียก aว่าเลขยกกำลัง  เรียก a ว่า ฐาน  และเรียก n  ว่า เลขชี้กำลัง

ตัวอย่าง เช่น

1)  3 = 3333    มี  3  เป็น ฐาน และ มี 4 เป็นเลขชี้กำลัง

2) (-5) = -5-5-5       มี -5  เป็น ฐาน และ มี 3 เป็นเลขชี้กำลัง

3) 2⁵  มี 2 เป็นฐาน และ 5 เป็นเลขชี้กำลัง

สมบัติอื่นๆ ของเลขยกกำลัง

ตัวอย่าง การเขียนเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่างที่ 1  จงเขียนจำนวนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปเลขยกกำลัง

1)  36

วิธีทำ   36 = 6 x 6

= 6²

2)  8

วิธีทำ  8  = 2 x2 x 2

= 2³

ดังนั้น  8 = 2³ 

เลขยกกำลัง

คือ การคูณตัวเลขนั้นๆตามจำนวนของเลขชี้กำลัง ซึ่งตัวเลขนั้นๆจะคูณตัวของมันเองและเมื่อแทน a เป็นจำนวนใด ๆ และแทน n เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่มี a เป็นฐานหรือตัวเลข และ n เป็นเลขชี้กำลัง(an) จะได้ว่า a คูณกัน n ตัว (axaxaxaxax…xa)

ตัวอย่าง
25 เป็นเลขยกกำลัง ที่มี 2 เป็นฐานหรือตัวเลข และมี 5 เป็นเลขชี้กำลัง
และ         25   = 2x2x2x2x2  = 32

สมบัติของเลขยกกำลัง

1. สมบัติการคูณเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก เมื่อ a เป็นจำนวนใด ๆ และ m, n เป็นจำนวนเต็มบวก
2. สมบัติการหารเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก
กรณีที่ 1 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ และ m, n เป็นจำนวนเต็มบวกที่ m > n
กรณีที่ 2 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ และ m, nเป็นจำนวนเต็มบวกที่ m = n
ยาม ถ้า a เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ a0 = 1

เช่น      67÷ 67 = 67-7 = 60  = 1  หรือถ้า (-7)o = 1

กรณีที่ 3เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ และ m, n เป็นจำนวนเต็มบวกที่ m < n

3.สมบัติอื่นๆของเลขยกกำลัง

เลขยกกำลังเป็นการคูณตัวเลขนั้นๆตามจำนวนของเลขชี้กำลัง ซึ่งตัวเลขนั้นๆจะคูณตัวของมันเองและเมื่อแทน a เป็นจำนวนใด ๆ และแทน n เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่มี a เป็นฐานหรือตัวเลข และ n เป็นเลขชี้กำลัง(an) หรือจะได้ว่า a คูณกัน n ตัว (axaxaxaxax…xa) อีกทั้งวิธีการคำนวณหาค่าเลขยกกำลังจะขึ้นอยู่กับสมบัติของเลขยกกำลังในแต่ละประเภทด้วย

สมบัติของการหารเลขยกกำลัง 

a^m ÷ aⁿ  = a^{m – n}     (ถ้าเลขยกกำลังฐานเหมือนกันหารกัน ให้นำเลขชี้กำลังมาลบกัน)

เมื่อ a เป็นจำนวนใดๆ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งแบ่งเป็น 3 กรณี ดังนี้

กรณีที่ 1  m > n  ( a^m ÷ aⁿ  = a^{m – n}  )

(เลขชี้กำลังของตัวเศษมากกว่าตัวส่วน)

ตัวอย่างที่ 1  จงหาผลลัพธ์ของจำนวนต่อไปนี้

1)   2⁴ ÷ 2²  =  2⁴ ⁻ ²    (ฐานเหมือนกันหารกัน ให้นำเลขชี้กำลังมาลบกัน)

=  2²

2)   (-5)⁶ ÷ (-5)³  =  (-5)⁶ ⁻ ³  (ฐานเหมือนกันหารกัน ให้นำเลขชี้กำลังมาลบกัน)

= (-5)³

3)   (¼)⁷ ÷ (¼)⁴  =  (¼)⁷ ⁻ ⁴  (ฐานเหมือนกันหารกัน ให้นำเลขชี้กำลังมาลบกัน)

= (¼)³

4)      =  3¹¹⁻ ⁵  (ฐานเหมือนกันหารกัน ให้นำเลขชี้กำลังมาลบกัน)

= 3⁶

5)      =  (0.8)⁶ ⁻ ²  (ฐานเหมือนกันหารกัน ให้นำเลขชี้กำลังมาลบกัน)

= (0.8)⁴

กรณีที่ 2  m = n  ( a^m ÷ aⁿ  = a^{m – n}  และ  a⁰ = 1 )

(เลขชี้กำลังของตัวเศษเท่ากับตัวส่วน)

ตัวอย่างที่ 2  จงหาผลลัพธ์ของจำนวนต่อไปนี้

1)   8⁴ ÷ 8⁴  =  8⁴ ⁻ ⁴     (ฐานเหมือนกันหารกัน ให้นำเลขชี้กำลังมาลบกัน)

=  8⁰            (a⁰ = 1)

=  1

2)   3¹¹ ÷ 3¹¹  =  3¹¹ ⁻ ¹¹     (ฐานเหมือนกันหารกัน ให้นำเลขชี้กำลังมาลบกัน)

=  3⁰            (a⁰ = 1)

=  1

3)   (¾)⁵ ÷ (¾)⁵  =  (¾)⁵ ⁻ ⁵   (ฐานเหมือนกันหารกัน ให้นำเลขชี้กำลังมาลบกัน)

=  (¾)⁰            (a⁰ = 1)

=  1

4)       =  7³ ⁻ ³   (ฐานเหมือนกันหารกัน ให้นำเลขชี้กำลังมาลบกัน)

=  7⁰            (a⁰ = 1)

=  1

5)      =  (0.5)⁹ ⁻ ⁹     (ฐานเหมือนกันหารกัน ให้นำเลขชี้กำลังมาลบกัน)

=  (0.5)⁰            (a⁰ = 1)

=  1

กรณีที่ 3  m < n   ( a^m ÷ aⁿ  = a^{m – n}  และ  a^–n  = ¹⁄aⁿ )

(เลขชี้กำลังของตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน)

ตัวอย่างที่ 3  จงหาผลลัพธ์ของจำนวนต่อไปนี้

1)   71¹³ ÷ 71¹⁵  =  71¹³ ⁻ ¹⁵       (ฐานเหมือนกันหารกัน ให้นำเลขชี้กำลังมาลบกัน)

=  71⁻²                       ( a^–n  = ¹⁄aⁿ )

=  

-ขอบคุณข้อมูล https://nockacademy.com/