คณิตศาสตร์พื้นฐานเนื้อหา คณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.2 หลักสูตรใหม่ของ สสวท
สมบัติของเลขยกกำลัง
1 การดำเนินการของเลขยกกำลัง
2 สมบัติอื่นๆ ของเลขยกกำลัง
การดำเนินการของเลขยกกำลัง บทนิยามของเลขยกกำลัง
บทนิยาม ถ้า a แทนจำนวนใด ๆ และ n แทนจำนวนเต็มบวก “a ยกกำลัง n” เขียนแทนด้วย aⁿ มีความหมายดังนี้
การยกกำลัง (อังกฤษ:Exponentiation) คือ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่าง
หนึ่งเขียนอยูู่่ในรูป 
ซึ่งประกอบด้วยสองจำนวน คือ ฐาน 
และ เลขชี้กำลัง 
โดย
พื้นฐานแล้วการยกกำลังจะมีความหมายเหมือนกับการคูณ ซ้ำๆเป็นจำนวน ตัว เมื่อ
เป็นจำนวนเต็มบวก
a ⁿ = a x a x a x … x a (a คูณกัน n ตัว)
นิยาม ถ้า a เป็นจำนวนใด ๆ และ n เป็นจำนวนเต็มบวก “ a ยกกำลัง n “ หรือ “ a กำลัง n “
เขียนแทนด้วย aมีความหมายดังนี้ a= aaaaa …..a (a คูณกัน n ตัว)
จากนิยาม จะเรียก aว่าเลขยกกำลัง เรียก a ว่า ฐาน และเรียก n ว่า เลขชี้กำลัง
ตัวอย่าง เช่น
1) 3 = 3333 มี 3 เป็น ฐาน และ มี 4 เป็นเลขชี้กำลัง
2) (-5) = -5-5-5 มี -5 เป็น ฐาน และ มี 3 เป็นเลขชี้กำลัง
3) 2⁵ มี 2 เป็นฐาน และ 5 เป็นเลขชี้กำลัง
สมบัติอื่นๆ ของเลขยกกำลัง
ตัวอย่าง การเขียนเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก
ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนจำนวนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปเลขยกกำลัง
1) 36
วิธีทำ 36 = 6 x 6
= 62
2) 8
วิธีทำ 8 = 2 x2 x 2
= 23
ดังนั้น 8 = 23
เลขยกกำลัง
คือ การคูณตัวเลขนั้นๆตามจำนวนของเลขชี้กำลัง ซึ่งตัวเลขนั้นๆจะคูณตัวของมันเองและเมื่อแทน a เป็นจำนวนใด ๆ และแทน n เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่มี a เป็นฐานหรือตัวเลข และ n เป็นเลขชี้กำลัง(an) จะได้ว่า a คูณกัน n ตัว (axaxaxaxax…xa)
ตัวอย่าง
25 เป็นเลขยกกำลัง ที่มี 2 เป็นฐานหรือตัวเลข และมี 5 เป็นเลขชี้กำลัง
และ 25 = 2x2x2x2x2 = 32
สมบัติของเลขยกกำลัง
1. สมบัติการคูณเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก เมื่อ a เป็นจำนวนใด ๆ และ m, n เป็นจำนวนเต็มบวก
2. สมบัติการหารเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก
กรณีที่ 1 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ และ m, n เป็นจำนวนเต็มบวกที่ m > n
กรณีที่ 2 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ และ m, nเป็นจำนวนเต็มบวกที่ m = n
ยาม ถ้า a เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ a0 = 1
เช่น 67÷ 67 = 67-7 = 60 = 1 หรือถ้า (-7)o = 1
กรณีที่ 3เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ และ m, n เป็นจำนวนเต็มบวกที่ m < n
3.สมบัติอื่นๆของเลขยกกำลัง
เลขยกกำลังเป็นการคูณตัวเลขนั้นๆตามจำนวนของเลขชี้กำลัง ซึ่งตัวเลขนั้นๆจะคูณตัวของมันเองและเมื่อแทน a เป็นจำนวนใด ๆ และแทน n เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่มี a เป็นฐานหรือตัวเลข และ n เป็นเลขชี้กำลัง(an) หรือจะได้ว่า a คูณกัน n ตัว (axaxaxaxax…xa) อีกทั้งวิธีการคำนวณหาค่าเลขยกกำลังจะขึ้นอยู่กับสมบัติของเลขยกกำลังในแต่ละประเภทด้วย
สมบัติของการหารเลขยกกำลัง
am ÷ an = am – n (ถ้าเลขยกกำลังฐานเหมือนกันหารกัน ให้นำเลขชี้กำลังมาลบกัน)
เมื่อ a เป็นจำนวนใดๆ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งแบ่งเป็น 3 กรณี ดังนี้
กรณีที่ 1 m > n ( am ÷ an = am – n )
(เลขชี้กำลังของตัวเศษมากกว่าตัวส่วน)
ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลลัพธ์ของจำนวนต่อไปนี้
1) 2⁴ ÷ 2² = 2⁴ ⁻ ² (ฐานเหมือนกันหารกัน ให้นำเลขชี้กำลังมาลบกัน)
= 2²
2) (-5)⁶ ÷ (-5)³ = (-5)⁶ ⁻ ³ (ฐานเหมือนกันหารกัน ให้นำเลขชี้กำลังมาลบกัน)
= (-5)³
3) (¼)⁷ ÷ (¼)⁴ = (¼)⁷ ⁻ ⁴ (ฐานเหมือนกันหารกัน ให้นำเลขชี้กำลังมาลบกัน)
= (¼)³
4) = 3¹¹⁻ ⁵ (ฐานเหมือนกันหารกัน ให้นำเลขชี้กำลังมาลบกัน)
= 3⁶
5) = (0.8)⁶ ⁻ ² (ฐานเหมือนกันหารกัน ให้นำเลขชี้กำลังมาลบกัน)
= (0.8)⁴
กรณีที่ 2 m = n ( am ÷ an = am – n และ a⁰ = 1 )
(เลขชี้กำลังของตัวเศษเท่ากับตัวส่วน)
ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลลัพธ์ของจำนวนต่อไปนี้
1) 8⁴ ÷ 8⁴ = 8⁴ ⁻ ⁴ (ฐานเหมือนกันหารกัน ให้นำเลขชี้กำลังมาลบกัน)
= 8⁰ (a⁰ = 1)
= 1
2) 3¹¹ ÷ 3¹¹ = 3¹¹ ⁻ ¹¹ (ฐานเหมือนกันหารกัน ให้นำเลขชี้กำลังมาลบกัน)
= 3⁰ (a⁰ = 1)
= 1
3) (¾)⁵ ÷ (¾)⁵ = (¾)⁵ ⁻ ⁵ (ฐานเหมือนกันหารกัน ให้นำเลขชี้กำลังมาลบกัน)
= (¾)⁰ (a⁰ = 1)
= 1
4) = 7³ ⁻ ³ (ฐานเหมือนกันหารกัน ให้นำเลขชี้กำลังมาลบกัน)
= 7⁰ (a⁰ = 1)
= 1
5) = (0.5)⁹ ⁻ ⁹ (ฐานเหมือนกันหารกัน ให้นำเลขชี้กำลังมาลบกัน)
= (0.5)⁰ (a⁰ = 1)
= 1
กรณีที่ 3 m < n ( am ÷ an = am – n และ a–n = ¹⁄aⁿ )
(เลขชี้กำลังของตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน)
ตัวอย่างที่ 3 จงหาผลลัพธ์ของจำนวนต่อไปนี้
1) 71¹³ ÷ 71¹⁵ = 71¹³ ⁻ ¹⁵ (ฐานเหมือนกันหารกัน ให้นำเลขชี้กำลังมาลบกัน)
= 71⁻² ( a–n = ¹⁄aⁿ )
=
-ขอบคุณข้อมูล https://nockacademy.com/
