คณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.3 ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

        ส่วนระบบสมการเชิงเส้นมากกว่าสองตัวแปร  จะกล่าวถึงเล็กน้อยเท่านั้น ในชั้นนี้จะศึกษาเกี่ยวกับการหาค่าตัวแปร   2   ตัวแปรจากระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ซึ่งถ้านำสมการทั้งสองมาเขียนกราฟเส้นตรง  และจุดที่กราฟทั้งสองตัดกัน  จะเป็นคำตอบของสมการนี้

ตัวอย่างที่ 1

ตัวอย่างที่ 1  จงแก้ระบบสมการ

x + y = 50

2x + 4y = 140

วิธีทำ   x + y = 50             ———(1)

2x + 4y = 140      ———(2)

อธิบายเพิ่มเติม : กำจัดตัวแปร x โดยการทำสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x ให้เท่ากันทั้ง 2 สมการ เนื่องจาก สัมประสิทธิ์ของตัวแปร x ในสมการ(1) เท่ากับ 1 และ สัมประสิทธิ์ของตัวแปร x ในสมการ (2) เท่ากับ 2 ดังนั้น นำสมการ (1) × 2 เพื่อให้สัมประสิทธิ์ของตัวแปร x เท่ากับ 2

(1) × 2 ;     2x + 2y = 100      ———(3)

เมื่อสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x เท่ากันแล้ว กำจัดตัวแปร x เพื่อหาค่า y โดยการนำ สมการ (2) – (3)

(2) – (3) ;  (2x + 4y) – (2x + 2y) = 140 – 100

2x + 4y – 2x – 2y = 40

2y = 40

y = 40 ÷ 2

y = 20

หาค่า x โดยแทน y ด้วย 20 ในสมการที่ (1) จะได้

x + y = 50

x + 20 = 50

x  = 50 – 20

x  = 30

ตรวจสอบ     แทน x ด้วย 30 และแทน y ด้วย 20 ในสมการ (1) จะได้

x + y = 30 + 20 = 50  เป็นจริง

แทน x ด้วย 30 และแทน y ด้วย 20 ในสมการ (2) จะได้

2x + 4y = 2(30) + 4(20) =  60 + 80 = 140  เป็นจริง

ดังนั้น คำตอบของระบบสมการคือ (30, 20)

นอกจากวิธีการดังกล่าวแล้ว ยังสามารถใช้วิธีการแทนค่า ได้ดังนี้

วิธีทำ     x + y = 50            ———(1)

2x + 4y = 140          ———(2)

จากสมการ (1) ให้จัดรูปใหม่ โดยให้ตัวแปร x อยู่ทางซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ เพียงตัวเดียว

จาก (1);    x = 50 –  y     ———(3)

แทน x ด้วย 50 – y ใน (2) จะได้

2x + 4y = 140

2(50 – y) + 4y = 140

100 – 2y + 4y = 140

2y = 140 – 100

2y = 40

y = 40 ÷ 2

y = 20

แทน y ด้วย 20 ใน (3) จะได้

x = 50 –  y

x = 50 – 20

x = 30

ดังนั้น คำตอบของระบบสมการคือ (30, 20)

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยการกำจัดตัวแปร

1. ทำสัมประสิทธิ์ของตัวแปรใดตัวแปรหนึ่งให้เท่ากันหรือเป็นจำนวนตรงข้ามกัน โดยการคูณหรือการหารด้วยค่าคงตัว

2. นำสมการมาบวกหรือลบกัน หากสัมประสิทธิ์ของตัวแปรมีค่าเท่ากัน ให้นำสมการมาลบกัน หากสัมประสิทธิ์ของตัวแปรเป็นจำนวน ตรงข้ามกันให้นำสมการมาบวกกัน

3. แก้สมการเพื่อหาค่าตัวแปรในขั้นตอนนี้ สมการต้องเหลือเพียงตัวแปรเดียวเท่านั้น

4.นำคำตอบที่ได้ไปแทนค่าในสมการใด สมการหนึ่งเพื่อหาค่าของตัวแปรอีกตัว

5.ตรวจคำตอบ
ถ้าคำตอบทำให้สมการเป็นจริงทั้งสองสมการ จะได้ว่า ระบบสมการนี้มีคำตอบ
ถ้าคำตอบทำให้สมการไม่เป็นจริงทั้งสองสมการ จะได้ว่า ระบบสมการนี้ไม่มีคำตอบ

ตัวอย่าง
จงแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
x – 2y = 9 (1)
4x – 3y = 6 (2)
วิธีทำ
จากสมการ (1) หาค่า x ในรูปของ y จะได้
x = 2y + 9 (3)
นำค่า x จาก (3) ไปแทน x ใน (2) จะได้
4(2y + 9) – 3y = 6 (4)
แก้สมการ (4) จะได้
8y + 36 – 3y = 6
y = -6
นำค่า y ไปแทนใน (3) จะได้
x = 2(-6) + 9
x = -3
ดังนั้น y = -6, x = -3 จะได้คู่อันดับ (-3, -6)

ชนิดของสมการ

“สมการ” สามารถแบ่งออกเป็น 3 ชนิด ได้แก่

1. สมการที่เป็นจริง : สมการที่มีจำนวนด้ายซ้ายและด้านขวาเท่ากัน เช่น

ตัวอย่างสมการที่ยกตัวอย่างมานั้น เป็นสมการที่เป็นเอกลักษณ์ ซึ่งแปลว่าสมการจะเป็นจริงโดยไม่ต้องมีการแทนค่าใดๆลงในตัวแปรเลย

2. สมการที่เป็นเท็จ : สมการที่มีจำนวนด้านซ้ายและด้านขวาไม่เท่ากัน เช่น

3. สมการที่มีตัวแปรไม่ทราบค่า : ก็คือสมการที่มีตัวแปรไม่ทราบค่า สมการจะเป็นจริงแค่เพียงค่าเดียว และเป็นเท็จเมื่อแทนค่าอื่นๆ นอกเหนือจากค่านั้น เช่น

การแก้สมการ

“การแก้สมการ” ก็คือ การหาคำตอบของสมการซึ่งจะทำให้สมการนั้นเป็นจริง
ซึ่งแบ่งออกเป็นสองวิธีด้วยกัน คือ

• การแทนค่าตัวแปร เป็นวิธีทดลองแทนค่าของตัวแปรในสมการ ถ้าจำนวนใดนำมาแทนค่าแล้วทำให้สมการเป็นจริง แสดงว่าจำนวนนั้นเป็นคำตอบของสมการ เช่น

ตัวอย่าง

• การใช้คุณสมบัติของการเท่ากัน เป็นการนำคุณสมบัติการเท่ากันทั้งในเรื่อง การบวก การลบ การคูณและการหารมาใช้ในการแก้สมการ

( ใส่รูป 1 )

ในการเรียนเรื่องสมการ เราจะพบสมการที่มีตัวแปรไม่ทราบค่าอยู่เสมอ ซึ่งในชั้นมัธยมต้น เราจะได้ทำความรู้จักกับสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวและสมการเชิงเส้นสองตัวแปร มาดูกันว่าสมการทั้งสองแบบแตกต่างกันอย่างไร

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

“สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว” คือ สมการที่มีตัวแปรไม่ทราบค่าและเลขชี้กำลังของตัวแปรเป็น 1 ตัวแปรอาจจะมีอยู่ข้างใดข้างหนึ่งของเครื่องหมายเท่ากับ ( = ) หรืออาจจะมีอยู่ทั้งสองข้างเลยก็ได้ ถ้าจัดให้อยู่ในรูปผลสำเร็จจะได้ว่า

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวจะมีคำตอบเพียงค่าเดียวเท่านั้น ซึ่งก็คือ จำนวนที่เมื่อนำไปแทนค่าตัวแปรในสมการแล้ว ทำให้สมการนั้นเป็นจริง ( ใส่รูป 2 )

การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว จะต้องใช้สมบัติการเท่ากันของจำนวน ที่บอกว่าจำนวนสองจำนวนที่เท่ากัน เมื่อเพิ่มหรือตัดออกเท่ากันย่อมเท่ากัน ซึ่งสมบัติการเท่ากัน ได้แก่ ( ใส่รูป 3 )

วิธีการแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว 

มีหลักการดังนี้ 

• พยายามทำให้เป็นผลสำเร็จ โดยจัดให้ตัวแปรและค่าคงตัวอยู่คนละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ (=)
• เมื่อไหร่ที่มีวงเล็บ ต้องถอดวงเล็บทิ้งไป โดยต้องไม่ลืมเปลี่ยนเครื่องหมายจำนวนในวงเล็บ เมื่อหน้าวงเล็บมีเครื่องหมายนี้ “ – “
• การแก้สมการเศษส่วน เมื่อจำนวนส่วนมากอยู่ในรูปเศษส่วน ต้องทำให้ส่วนหมดไปโดยการนำ ค.ร.น. ของส่วนทั้งหมดคูณไปตลอดสมการนั้น

• ตัวอย่าง

  นายเอมีเงินมากกว่านายบีอยู่ 12 บาท นายเอและนายบีมีเงินรวมกันอยู่ 88 บาท นายเอมีเงินเท่าไหร่

  วิธีทำ สมมติให้นายเอมีเงิน X บาท

  เราจะได้ว่า นายบีมีเงิน X – 12 บาท

  นายเอและบีมีเงินรวมกัน 88 บาท

  สมการที่ได้คือ   X + (X – 12)  =  88

    2X – 12      = 88

  2X     =  88+12

  X       =  100/2  =  50

  ตอบ นายเอมีเงิน 50 บาท