คณิตศาสตร์ ม.4 ฟังก์ชัน ความหมายมฟังก์ชัน

ความสัมพันธ์ที่เป็นฟังก์ชัน

การตรวจสอบความสัมพันธ์ที่เป็นฟังก์ชัน สามารถทำได้โดยใช้บทนิยามของฟังก์ชัน

นิยามฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ซึ่งในสองคู่อันดับใด ๆ ของความสัมพันธ์นั้น ถ้ามีสมาชิกตัวหน้าเท่ากันแล้ว
สมาชิกตัวหลังต้องไม่ต่างกัน

การตรวจสอบความสัมพันธ์ที่กำหนดให้ในรูปแบบแจกแจงสมาชิก สามารถทำได้ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1จงตรวจสอบว่าความสัมพันธ์ต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันหรือไม่
f = {(0,1),(2,3),(4,5),(0,2)}
g ={(1,2),(7,8),(5,9),(1,2)}

จากความสัมพันธ์ที่กำหนดให้จะพบว่าทั้ง f และ g ต่างมีคู่อันดับที่มีสมาชิกตัวหน้าซ้ำกัน คือ (0,1) กับ (0,2) และ (1,2) กับ (1,2) ตามลำดับ

แต่สมาชิกตัวหลังของคู่อันดับที่ซ้ำกันใน f ไม่เหมือนกัน ดังนั้น f จึงไม่เป็นฟังก์ชัน แต่ g เป็นฟังก์ชัน

ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ซึ่งในสองคู่อันดับใดๆ ของความสัมพันธ์นั้น ถ้าสมาชิกตัวหน้าเหมือนกันแล้ว สมาชิกตัวหลังต้องไม่ต่างกัน

นั่นคือ

ถ้า (x₁,y₁) ∈ r และ (x₁,y₂) ∈ r แล้ว y₁= y₂

หลักในการพิจารณาว่าความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชันหรือไม่

1. ถ้าความสัมพันธ์นั้นอยู่ในรูปแจกแจงสมาชิก ให้ดูว่าสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับซ้ำกันหรือไม่ ถ้าสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับซ้ำกัน แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน

2. ถ้าความสัมพันธ์นั้นอยู่ในรูปของการกำหนดเงื่อนไขสมาชิก
r = {(x,y) ∈ A× B | P(x,y) } ให้แทนค่าแต่ละสมาชิกของ x ลงในเงื่อนไข P(x,y) เพื่อหาค่า y ถ้ามี x ตัวใดที่ให้ค่า y มากกว่า 1 ค่า แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน

3. พิจารณาจากกราฟของความสัมพันธ์ โดยการลากเส้นตรงขนานกับแกน y ถ้าเส้นตรงดังกล่าวตัดกราฟของความสัมพันธ์มากกว่า 1 จุด แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน