คณิตศาสตร์เบื้องต้น-จํานวนเฉพาะ ทางคณิตศาสตร์

“จำนวนเฉพาะ” หรือ ไพรม์ นัมเบอร์ (Prime number) คือ จำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารที่เป็นบวกอยู่ 2 ตัว คือ 1 กับตัวมันเอง เช่น 2, 3, 5, 7, 11, 13 และ 17 เป็นต้น และสำหรับเลข 1 นั้น ให้ตัดทิ้ง เพราะ 1 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ
ตัวอย่างจำนวนเฉพาะที่เรานำมาฝาก มีดังนี้

จํานวนเฉพาะ 1-100 มีทั้งหมด 25 ตัว ดังนี้

จำนวนเฉพาะ 1 – 100

2, 3, 5, 7, 11 และ 19 เป็นจำนวนเฉพาะหลัก
3, 7, 11 และ 19 เพิ่มครั้งละสิบ
ทำการหารด้วย 3 และ 7 (ถ้าหารลงตัวไม่เป็นจำนวนเฉพาะ)
จำนวนนับที่หารด้วย 7 ลงตัว มี 3 จำนวน คือ 49, 77 และ 91

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 และ 97

ขั้นที่ 1 หารด้วย 3 ลงตัว

33 ÷ 3 = 11

27 ÷ 3 = 9

21 ÷ 3 = 7

39 ÷ 3 = 13

จำนวนเฉพาะ 1 – 100 ที่ทำการบวกเพิ่ม จะได้
จำนวนนับ 33, 27, 21 และ 39 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ หลังจากทราบจำนวนที่ไม่เป็นจำนวนเฉพาะชุดแรกแล้ว ขั้นต่อไปให้ทำการนับไปแถวละ 3 ช่อง ให้ช่องที่ 3 เป็นจำนวนที่ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ เพราะหารด้วย 3 ลงตัว

ขั้นที่ 2 หารด้วย 7 ลงตัว

49 ÷ 7 = 7

77 ÷ 7 = 11

91 ÷ 7 = 13

ขั้นที่ 3 ตัดจำนวนที่หารด้วย 3 และ 7 แล้ว จะได้จำนวนเฉพาะ จาก 1 – 100 คือ

2, 3, 5, 7, 11, 19 มี 6 จำนวน

13, 17, 29 มี 3 จำนวน

23, 31 มี 2 จำนวน

37, 41 มี 2 จำนวน

43, 47, 59 มี 3 จำนวน

53, 61 มี 2 จำนวน

67, 71, 79 มี 3 จำนวน

73, 89 มี 2 จำนวน

83 มี 1 จำนวน

97 มี 1 จำนวน

1 – 10 มีจำนวนเฉพาะ คือ 2, 3, 5 และ 7 มี 4 ตัว
11 – 20 มีจำนวนเฉพาะ คือ 11, 13, 17 และ 19 มี 4 ตัว
21 – 30 มีจำนวนเฉพาะ คือ 23 และ 29 มี 2 ตัว
31 – 40 มีจำนวนเฉพาะ คือ 31 และ 37 มี 2 ตัว
41 – 50 มีจำนวนเฉพาะ คือ 41, 43 และ 47 มี 3 ตัว
51 – 60 มีจำนวนเฉพาะ คือ 53 และ 59 มี 2 ตัว
61 – 70 มีจำนวนเฉพาะ คือ 61 และ 67 มี 2 ตัว
71 – 80 มีจำนวนเฉพาะ คือ 71, 73 และ 79 มี 3 ตัว
81 – 90 มีจำนวนเฉพาะ คือ 83 และ 89 มี 2 ตัว
91 – 100 มีจำนวนเฉพาะ คือ 97 มี 1 ตัว

มีจำนวนเฉพาะทั้งหมด 25 ตัว

ดังนั้น จำนวนเฉพาะระหว่างจำนวนนับ 1 – 100 มีทั้งหมด 25 ตัว

จํานวนเฉพาะ 1-200 มีทั้งหมด 46 ตัว ดังนี้

จํานวนเฉพาะ 1-1000 มีทั้งหมด 168 ตัว ดังนี้

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991 และ 997

สำหรับวิธีตรวจสอบความเป็นจำนวนเฉพาะ สามารถทำได้ ดังนี้

สมมติเขาถามว่า 331 เป็นจำนวนเฉพาะรึเปล่า ทุกคนก็คงจะเริ่มด้วยการประมาณค่ารากที่สองของ 331 ซึ่งได้ประมาณเกือบ ๆ 18 จากนั้นก็เริ่มเอาจำนวนเฉพาะไปหาร 331 ดู โดยเริ่มจาก 2 3 5 7 ไปเรื่อย ๆ แต่พอเราลองไปจนถึง 17 แล้วยังไม่มีจำนวนเฉพาะสักตัวหาร 331 ลงตัว เราก็หยุดและสรุปว่า 331 เป็นจำนวนเฉพาะ โดยไม่ต้องลองเอาจำนวนเฉพาะอื่นๆ ไปหาร 331 อีกต่อไป มีวิธีคิดดังนี้คือ ให้ n เป็นจำนวนนับใด ๆ (n เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ก็เป็นจำนวนประกอบเพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง)

– สมมติว่า n เป็นจำนวนประกอบ

– จำนวนประกอบคือจำนวนที่มีจำนวนอื่นนอกจาก 1 และตัวมันเองที่หารมันลงตัว

– ดังนั้นมีจำนวนนับ a โดย a หาร n ลงตัว และ 1 < a < n

– นั่นคือจะมีจำนวนนับ b ที่ 1 < b < n และ n = a * b

– โดยไม่เสียนัยสำคัญกำหนดให้ a <= b (ถ้า a > b ก็ให้สลับค่า a กับ b)

– สังเกตว่า a = รากที่สองของ (a^2) <= รากที่สองของ (a*b) = รากที่สองของ n

ขอขอบคุณข้อมูลจาก
วิกิพีเดีย, ศูนย์วิทยาศาสตร์เพื่อการศึกษา และ https://education.kapook.com/