คณิตศาสตร์เรื่องความสัมพันธ์

ความสัมพันธ์

ความสัมพันธ์ คู่อันดับและผลคูณคาร์ทีเซียน คู่อันดับ (Ordered Pairs) คือ สัญลักษณ์ที่แสดงการจับคู่กันระหว่างสิ่งสองสิ่ง
ตัวอย่างของคู่อันดับ
(a, b) อ่านว่า คู่อันดับ เอบี
a เป็นสมาชิกตัวหน้าหรือสมาชิกตัวที่หนึ่งของคู่อันดับ (a, b)
b เป็นสมาชิกตัวหลังหรือสมาชิกตัวที่สองของคู่อันดับ (a, b)

คู่อันดับ (Ordered Pairs)

บทนิยาม คู่อันดับ (a,b) เท่ากับ คู่อันดับ (c,d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d

ข้อสังเกต คู่อันดับ (a,b) (b,a)

ตัวอย่างที่ 1 ให้ (5,a) = (b,-3) จงหา a,b และ a+b

วิธีทํา จาก (5,a) = (b,-3) จะได้ว่า 5 = b และ a = -3

ดังนั้น a+b = -3+5 = 2 ตอบ

ตัวอย่างที่ 2 ให้ (x+1,4) = (3,y-2) จงหา (x , y)

วิธีทํา จาก (x+1,4) = (3,y-2)

จะได้ว่า x+1 = 3 และ 4 = y-2

ดังนั้น x = 3-1 4+2 = y

x = 2 6 = y

ดังนั้น (x,y) = (2,6) ตอบ

ผลคูณคาร์ทีเซียน

ถ้าให้เซต A = {1,2,3} และ B = {a,b} ถ้าเขียนคู่อันดับโดยให้สมาชิกตัวหน้าเป็นสมาชิกของเซต A และสมาชิกตัวหลังเป็นสมาชิกของเซต B แล้ว จะได้เซตคู่อันดับทั้งหมดดังนี้{(1,a),(1,b),(2,a),(2b),(3,a),(3,b)} เรียกเซตนี้ว่า “ ผลคูณคาร์ทีเซียนของ A และ B “ เขียนแทนด้วย

A x B อ่านว่า เอ คูณ บี

บทนิยาม ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และ B คือเซตของคู่อันดับ (a,b) ทั้งหมด โดยที่ a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B

ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และ B เขียนแทนด้วย A x B

เขียน A x B ในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขได้ดังนี้

A X B = {(a,b)| a∈ A และ b ∈ B}

ตัวอย่างที่ 3 A = {2,4,6} , B = {a,b}

ดังนั้น A x B = {(2,a),(2,b),(4,a),(4,b),(6,a),(6,b)}

n(AxB) = 6

B x A = {(a,2),(a,4),(a,6),(b,2),(b,4),(b,6)}

n(AxB) = 6

A x A = {(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)}

n(AxA) = 9

ข้อสังเกต 1. ถ้า A มีจำนวนสมาชิก n ตัว ; B มีจำนวนสมาชิก m ตัว แล้ว AxB มีจำนวน สมาชิกทั้ง หมดเท่ากับ nm

2. ถ้า n(A) = n ตัว และ n(B) = m ตัว ความสัมพันธ์จาก A ไป B ทั้งหมดเท่ากับ 2^nm

ความสัมพันธ์(Relation)

นิยาม r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ A x B นั่นคือ ความสัมพันธ์เป็นเซตของคู่อันดับ

ตัวอย่างที่ 4 กำหนดให้ A = {1,2,3,4} , B = {0,2,4,6}

ให้ r₁ แทนความสัมพันธ์ “ น้อยกว่า” จาก A ไป B จะได้

r₁ = {(a,b) ∈ AxB | a < b} ……[แบบเงื่อนไข]

r₁ = {(1,2),(1,4),(1,6),(2,4),(2,6),(3,4),(3,6),(4,6)} ……… [แบบแจกแจง]

ให้ r₂ แทนความสัมพันธ์ “ หารลงตัว “ จาก B ไป A จะได้

r₂ = {(b,a) ∈ B x A | b|a }

r₂ = {(2,2),(2,4),(4,4)}

ตัวอย่างที่ 5 กำหนด A = {x | x เป็นจำนวนเต็ม}

ฺฺB = {x |x เป็นจำนวนเต็มบวก}

ถ้า r₁ = {(x,y) ∈ A x B | y = x² } เขียน r₁ แบบแจกแจงสมาชิกได้ดังนี้

r₁ = {(1,1),(-1,1),(2,4),(-2,4),… }

ถ้า r₂ = {(x,y) ∈ A x B | y = } เขียน r ₂แบบแจกแจงสมาชิกได้ดังนี้

r₂ = {(2,1),(4,2),(6,3),(8,4) ,…}

ตัวอย่างที่ 6 กำหนด A เป็นเซตของจ านวนเต็มบวก และ B เป็นเซตของจ านวนจริง
r1 = {(x, y) ∈ A x B | y = x + 2}
r2 = {(x, y) ∈ A x B | y = 2x}
จงเขียน r1
และ r2
แบบแจกแจงสมาชิก
วิธีท า จาก r1 = {(x, y) ∈ A x B | y = x + 2}
ถ้า x = 1 จะได้ y = 1 + 2 = 3 คู่อันดับคือ (1, 3)
x = 2 จะได้ y = 2 + 2 = 4 คู่อันดับคือ (2, 4)
ท าเช่นนี้เรื่อย ๆ ไป จะได้
r1 = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), . . . }
จาก r2 = {(x, y) ∈ A x B | y = 2x}
ความสัมพันธ์ของ r2
อยู่ภายใต้กฎเกณฑ์ คือ
สมาชิกตัวหลัง = 2 เท่าของสมาชิกตัวหน้า
r2 = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), . . . }

ตัวอย่างที่ 7 จงหาค่า x และ y ที่ท าให้ (x + 2, y + 10) = (6, 12)
วิธีท า จากความหมายการเท่ากันของคู่อันดับ จะได้ว่า
x + 2 = 6 และ y + 10 = 12
x = 4 และ y = 2

โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์

พิจารณาความสัมพันธ์

r₁ = {(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)}

r₂ = {(x,y) ∈ I⁺x I⁺ | y = x }

เซตสมาชิกตัวหน้าของความสัมพันธ์ r ₁ คือ {1,2,3,4} เรียกเซตนี้ว่า โดเมนของ r₁

เซตสมาชิกตัวหลังของความสัมพันธ์ r ₁ คือ {2,3,4,5} เรียกเซตนี้ว่า เรนจ์ของ r₁

ส่วน r₂มีโดเมนและเรนจ์เท่ากับจำนวนเต็มบวก

บทนิยามให้ r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B

โดเมนของ r คือเซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย D_r

เรนจ์ของ r คือเซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย R _r

ตัวอย่างที่ 6 กำหนดให้ A = {-2,-1,0,1,2} , B = {1,2,3,4}

กำหนด r = {(x,y) ∈ A x B | y = x²+1} จะได้

r = {(-1,2),(0,1),(1,2)}

ดังนั้น D _r = {-1,0,1} , R _r = {2,1}

ตัวอย่างที่ 7 จงหา โดเมนและเรนจ์ ของ r เมื่อกำหนด r = {(x,y)| ∈ RxR | x+y = 5}

วิธีทำ หาโดเมน จัดรูป y ในเทอม x จะได้ y = 5 – x จะเห็นว่าเมื่อแทนค่า x ด้วยจำนวนจริงใดๆจะหาค่า y ได้เสมอ ดังนั้น โดเมนคือจำนวนจริง หรือ เขียนในรูปเงื่อนไขได้เป็น D_r = { x|x ∈ R }

หาเรนจ์ จัดรูป x ในเทอม y จะได้ x = 5 – y จะเห็นว่าเมื่อแทนค่า y ด้วยจำนวนจริงใดๆจะหาค่า x ได้เสมอ ดังนั้น เรนจ์คือจำนวนจริง หรือ เขียนในรูปเงื่อนไขได้เป็น R _r = { x|x ∈ R }