ภาคตัดกรวย วงกลม
- สมการรูปมาตรฐาน
- สมการรูปทั่วไป
-
วงกลม
จากรูปจะเห็นว่า การตัดระนาบในแนวขนานกับพื้นราบ ทำให้เกิดวงกลมน้อยใหญ่ขึ้นมามากมายพิจารณารูปวงกลมบนระบบพิกัดฉากต่อไปนี้
เราจะได้สมการวงกลม: (x-h)2 + (y-k)2 = r2
เมื่อ (h, k) เป็นจุดศูนย์กลางและ r เป็นรัศมีของวงกลม
ในกรณีที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด จะได้สมการเป็น x2 + y2 = r2
ถ้าวงกลมวงนี้ขยับไปจุดอื่น รัศมียังเท่าเดิม แต่สมการของวงกลมจะเปลี่ยนไปเนื่องจากจุดศูนย์กลาง (h, k) ถูกย้ายตำแหน่งไปนั่นเอง
จากกราฟข้างบน จะได้สมการของวงกลมทั้ง 5 วง ดังนี้
สมการวงกลม A: x2 + y2 = 22
สมการวงกลม B: (x-4)2 + (y-4)2 = 22
สมการวงกลม C: (x+6)2 + (y-6)2 = 22
สมการวงกลม D: (x+6)2 + (y+1)2 = 22
สมการวงกลม E: (x-3)2 + (y+5)2 = 22
โจทย์เรื่องวงกลม จะเกี่ยวข้องกับการหาจุดศูนย์กลาง ความยาวรัศมี หรือจุดตัดระหว่างวงกลมกับเส้นตรง เป็นต้น
สมมติว่าโจทย์ให้สมการทั่วไปอันหนึ่งมา (สมการทั่วไป คือสมการที่แตกวงเล็บออกมาหมดแล้ว และด้านขวาของสมการเป็น 0)
เช่น x2 + y2 + 2x – 4y -3 = 0หน้าที่ของเราคือ
1. ต้องดูให้ออกก่อนว่านี่คือสมการวงกลมหรือไม่ นั่นคือเช็คว่า
– มี x2 และ y2 ปรากฏอยู่ในสมการ และ
– ทั้งสองเทอมนี้มีสัมประสิทธิ์เท่ากับ 1
ถ้าเป็นตามนี้แสดงว่าเป็นสมการวงกลมแน่ๆ2. ค่อยๆ จัดสมการให้อยู่ในรูปแบบของสมการวงกลม พอเสร็จขั้นนี้จะได้จุดศูนย์กลาง และรัศมี
จาก x2 + y2 + 2x – 4y -3 = 0
ค่อยๆ ย้ายให้ด้านซ้ายเป็นส่วนของ x, y ด้านขวาเป็นตัวเลขธรรมดา
(x2 + 2x) + (y2 – 4y) = 3จากนั้นพยายามทำให้เป็นกำลังสองที่สมบูรณ์ โดยการเติมตัวเลขเข้าไปในวงเล็บของ x และ y และอย่าลืมเติมตัวเลขนั้นลงไปในด้านขวาของสมการด้วย
(x2 + 2x + 12) + (y2 – 4y + 22) = 3 + 12 + 22
(x+1)2 + (y-2)2 = 8ดังนั้นจุดศูนย์กลางของวงกลมนี้คือ (-1, 2) ความยาวรัศมีเท่ากับ
ถ้าโจทย์ให้จุดศูนย์กลางมา พร้อมกับบอกว่าวงกลมนี้ผ่านจุดๆหนึ่ง (x, y) (แสดงว่าจุดนี้อยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมนั่นเอง) ให้หาสมการทั่วไปของวงกลม จะทำอย่างไรดี?
ลองทำตามนี้ดูนะครับ1. คิดถึงรูปแบบสมการวงกลมไว้
2. เราต้องการ (h, k) และ r ในกรณีนี้มี r ตัวเดียวที่ยังไม่ทราบ
3. หารัศมี โดยใช้ความรู้ระยะทางระหว่างจุด 2 จุด (จุดศูนย์กลางและจุดบนเส้นรอบวง) จะได้
4. แทนค่าลงในสมการวงกลม จากนั้นแตกกำลังสองออกมา จัดให้ด้านขวาเป็น 0 ก็เป็นอันว่าได้สมการทั่วไปแล้วหากพูดถึงเส้นสัมผัสวงกลม ควรจำไว้ว่าเส้นจะผ่านจุดบนวงกลมที่เพียงจุดเดียวเท่านั้น เรียกว่า จุดสัมผัส และเส้นตรงนี้จะตั้งฉากกับเส้นรัศมี ณ จุดนั้นเสมอ
