ทฤษฎีบททวินาม

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์  คือ  จำนวนที่แสดงให้ทราบว่าเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่ง มีโอกาสเกิดขึ้นมากหรือน้อยเพียงใด

อธิบายความได้ว่า      1.  ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ เป็น  0        2.  ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆจะเป็นจำนวนใดจำนวนหนึ่ง                   ตั้งแต่  0  ถึง  1

                แซมเปิลสเปซ(Sample Space) คือเซตของผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นได้ทั้งหมดจากการทดลองสุ่มและเป็นสิ่งที่เราสนใจ เรานิยมใช้สัญลักษณ์ S แทนแซมเปิลสเปซ  จากความหมายของแซมเปิลสเปซ แสดงว่า ในการทดลองหรือการกระทำใด ๆ ก็ตาม  ผลลัพธ์ที่มีโอกาสจะเกิดขึ้นได้ต้องเป็นสมาชิกในแซมเปิลสเปซทั้งสิ้น 

ตัวอย่างที่ 3 จากการทดลองสุ่มโดยการทดลองทอดลูกเต๋า 2 ลูก
1. จงหาแซมเปิลสเปซของแต้มของลูกเต๋าที่หงายขึ้น
2. จงหาแซมเปิลสเปซของผลรวมของแต้มบนลูกเต๋า 

a    แทนแต้มที่หงายขึ้นของลูกเต๋าลูกแรก
b    แทนแต้มที่หงายขึ้นของลูกเต๋าลูกที่สอง
ดังนั้นแซมเปิลสเปซของการทดลองสุ่มคือ
S={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} 

ตัวอย่างที่ 4   ในกล่องใบหนึ่งมีลูกบอลสีแดง 2 ลูก สีขาว 1 ลูก ถ้าเราหยิบลูกบอลออกจากกล่องมา 1 ลูก โดยวิธีสุ่ม
1. จงหาแซมเปิลสเปซของสีของลูกบอลที่จะเกิดขึ้น
2. จงหาแซมเปิลสเปซของลูกบอลที่หยิบออกมาได้ 

ดังนั้นแซมเปลิสเปซของลูกบอลที่หยิบออกมาคือ S = {แดง1,แดง2, ขาว1} 

2.  เหตุการณ์ที่ได้แต้มที่หารด้วย 2 ลงตัว ( E₂ ) 
3. เหตุการณ์ที่ได้แต้มคี่ ( E₂ ) 

1.  แซมเปิลสเปส (S) คือ { 20 < X < 50} เมื่อ X เป็นค่าหนึ่ง ๆ 
2.  เหตุการณ์ที่นักศึกษาได้น้อยกว่า 30 

3.  เหตุการณ์ที่นักศึกษาได้คะแนนสูงกว่า 40 

วิธีจัดหมู่

วิธีจัดหมู่  คือ วิธีการจัดสิ่งของที่แตกต่างกันออกเป็นกลุ่ม หรือ หมู่โดย

ไม่คำนึงถึงอันดับ  เช่น  การจัดหมู่ตัวอักษร A , B และ C  ออกเป็นหมู่ละ 2 ตัวอักษร

จะจัดได้ AB AC และ BC เพียง 3 หมู่ หรือ 3 วิธี

จะเห็นว่า  AB และ BA   เป็นหมู่เดียวกัน  หรือAC  กับ CA เป็นหมู่เดียวกัน  หรือ

BC กับ CBเป็นหมู่เดียวกัน  ดั้งนั้นการจัดหมู่ไม่ใช่การจัดลำดับ

จำนวนวิธีจัดหมู่ของ n สิ่งที่แตกต่างกัน  โดยนำมาจัดหมู่คราวละ r สิ่ง ( r < n )  เท่ากับ

ตัวอย่างที่ 1  ชาย 6 คน และหญิง 6 คน ในจำนวนนี้มีนายสมบัติ และนางสาวสมศรี รวมอยู่ด้วย ถ้าให้ผู้ชายไปจับคู่กับผู้หญิง

จะมีวิธีการจับคู่กี่วิธี เมื่อ

    (1)    ไม่มีเงื่อนไขใดเพิ่มเติม

    (2)    นายสมบัติจับคู่กับนางสาวสมศรี

(3)  นายสมบัติไม่จับคู่กับนางสาวสมศรี

วิธีทำ (1)  จำนวนวิธีการจับคู่  = จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของชาย 6 คน (หรือของหญิง 6 คน)

= 6!  = 720 วิธี

(2)  จำนวนวิธีของการจับคู่โดยสมบัติจับคู่กับสมศรี  = 1×5! = 120 วิธี

(3)  จำนวนวิธีของการจับคู่โดยสมบัติไม่จับคู่กับสมศรี  = 5×5! = 600 วิธี

(หรือเท่ากับ  720 – 120 = 600 วิธี)
ตัวอย่างที่2   มีครูชาย 2 คน ครูหญิง 2 คน นักเรียนชาย 2 คน และนักเรียนหญิง 2 คน มายืนเรียงแถวยาว จะมีวิธีการยืน

ทั้งหมดกี่วิธี เมื่อ

(1)  ครูชายยืนติดกัน ครูหญิงยืนติดกัน แต่ครูชายและครูหญิงยืนไม่ติดกัน

(2)  ครูชาย ครูหญิง นักเรียนชาย และนักเรียนหญิง ยืนสลับกันทีละคน โดยที่ลำดับต้องเหมือนกับ

ลำดับของชุดแรก

(3)  ครูชาย ครูหญิง ยืนสลับกันทีละคน และนักเรียนชาย นักเรียนหญิง ยืนสลับกันทีละคน

วิธีทำ  (1)  นักเรียนชาย 2 คน และนักเรียนหญิง 2 คน มีวิธีการยืน = 4! = 24 วิธี

มีช่องว่าง 5 ช่อง รวมครูชาย 2 คน เป็น 1 คน และรวมครูหญิง 2 คน เป็น 1 คน

นำครูชายและครูหญิงไปแทรก จำนวนวิธีการแทรก =  5P2  × 2! × 2!

=  5! / 3!  ×4   = 80 วิธี

ดังนั้น จำนวนวิธีการยืน       =     24 × 80   =   1,920   วิธี 
                (2)  จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของชุดแรก          =     4!     =       24   วิธี

ในแต่ละวิธี ครูชาย ครูหญิง นักเรียนชาย และนักเรียนหญิงมีการสลับกันเองได้

2! × 2! ×2!  ×2!      =     16    วิธี

ดังนั้น จำนวนวิธีการยืน        =       241 ×6   =     384    วิธี

(3)  จำนวนวิธีการยืนของครูชาย และครูหญิงโดยยืนสลับกันทีละคน เท่ากับ

2! × 2! ×2 !      =      8    วิธี

จำนวนวิธีการยืนของนักเรียนชาย และนักเรียนหญิงโดยยืนสลับกันทีละคน เท่ากับ

2! × 2! ×2 !   =      8    วิธี

จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของกลุ่มครูและกลุ่มนักเรียน  =   2!   =     2    วิธี

ดั้งนั้น จำนวนวิธีการยืน     =  8×8×2  =    128    วิธี

ตัวอย่างที่ 3  ถ้าต้องการสลับตัวอักษรในคำว่า PREFACE จะสลับได้กี่วิธี เมื่อต้องการให้อักษรที่ซ้ำกันอยู่ติดกัน และ

(1)  ไม่มีเงื่อนไขใดเพิ่มเติม                                            (4)  ขึ้นต้นด้วยพยัญชนะ

(2)  อักษรที่ซ้ำกันอยู่ริม                                                 (5)  ขึ้นต้นด้วยสระ

(3)  อักษรที่ซ้ำกันต้องไม่อยู่ริม                                      (6)  พยัญชนะอยู่ติดกัน

วิธีทำ  (1)  จำนวนวิธีสลับ             =     6!      =      720     วิธี

(2)  ตัวอักษร    EE  อยู่ริม  มีวิธีการสลับ  =     2    วิธี

ตัวอักษร 5 ตัวที่เหลือ       =   5!      =     120    วิธี

ดังนั้น จำนวนวิธีการสลับ   =   2  ×120     =     240    วิธี

(3)  ตัวอักษร  EE มีวิธีการสลับตำแหน่ง 4 วิธี (ยกเว้นหัวและท้าย)

ตัวอักษร 5 ตัวที่เหลือ       =   5!      =     120    วิธี

ดังนั้น จำนวนวิธีการสลับ   =  4 ×120    =     480    วิธี

(4)  พยัญชนะ ได้แก่ P, R, F, C

จำนวนวิธีการนำตัวอักษรใส่ในตำแหน่งแรก    =    4    วิธี

จำนวนวิธีสลับตัวอักษร 5 ตัว      =   5!      =     120    วิธี

ดังนั้น จำนวนวิธีการสลับ   =      4 ×120   =     480    วิธี

(5)  กรณีที่ 1 ขึ้นต้นด้วย   EE

จำนวนวิธีการสลับ          =    1 ×5!       =       120     วิธี

กรณีที่ 2 ขึ้นต้นด้วย A

จำนวนวิธีการสลับ          =     1 ×5!    =       120     วิธี

ดังนั้น จำนวนวิธีการสลับ         =    120 + 120    =    240      วิธี  
                           PRFC             E
                                                   E         A

(6)     จำนวนวิธีสลับ       =    3!×  4!   =      6×  24      =       144     วิธี

วิธีเรียงสับเปลี่ยน

1. วิธีการเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด

หมายถึง การนำสิ่งของที่มีลักษณะที่แตกต่างกันทั้งหมดมาจัดเรียงสับเปลี่ยน โดยถือตำแหน่งหรือลำดับก่อนหลังเป็นสำคัญ แบ่งออกเป็น 3 แบบ คือ

1) จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดในแนวเส้นเดียวกัน (แต่ไม่เป็นวงกลม) เท่ากับ n! วิธี

2) จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดในแนวเส้นเดียวกัน โดยจัดทีละ r สิ่ง (r £ n) เท่ากับ n! / (n-r)! วิธี

* เขียนแทนด้วย P_{(n, r)} = n! / (n-r)!

    จาก P_{(n, r)} = n! / (n-r)!

= n . (n-1) . (n-2) . … . (n-r+1) . (n-r)! / (n-r)!

= n . (n-1) . (n-2) . … . (n-r+1)

3) จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดในแนววงกลม เท่ากับ (n-1)! วิธี และมีหลักการจัดเรียง โดยแบ่งตามเงื่อนไขได้ดังนี้

3.1  การจัดสิ่งของ n สิ่ง วึ่งแตกต่างกันทั้งหมดในแนววงกลม โดยไม่มีเงื่อนไข จะจัดได้เท่ากับ (n-1)! วิธี

3.2  การสร้างจุดอ้างอิงบนวงกลมก่อน แล้วแทรกเข้าไป วนเป็นวงกลม โดยที่รู้ว่ามีจุดอ้างอิงก่อนแล้ว

3.3  การจัดสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดในแนววงกลม โดยที่มีเงื่อนไขการสับที่ แล้วแทรกอีกฝ่ายหนึ่งเข้าในฝ่ายแรก โดยต้องรู้ว่าการแทรกครั้งนี้มีจุดอ้างอิงแล้ว

3.4  การจัดสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดในแนววงกลม โดยจัดทีละ r สิ่ง (r £ n) เท่ากับ n! / (n-r)! . r!  วิธี

* เขียนแทนด้วย [P_{(n, r)}] / r = n! / (n-r)! . r!

3.5  การจัดสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดในแนววงกลมแบบมองได้ 2 ด้าน (แบบสามมิติ)

3.6  การจัดสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดในแนววงกลมแบบมองได้ 2 ด้าน โดยจัดทีละ r สิ่ง (r £ n)

* เขียนแทนด้วย [P_{(n, r)}] / 2r = n! / (n-r)! . 2r!

ตัวอย่างที่ 1 จะสร้างเลข 4 หลัก จากตัวเลข 1, 2, 3, 4 ได้กี่จำนวน

วิธีทำ จากโจทย์ ตรงตามข้อที่ 1

จะได้ว่า จะสร้างตัวเลข 4 หลัก ได้ = 4! = 4 . 3 . 2 . 1  = 24

ดังนั้น จะสร้างตัวเลข 4 หลัก ได้ 24 จำนวน

ตัวอย่างที่ 2 จะสร้างเลข 2 หลัก จากตัวเลข 1, 2, 3, 4, 5 ได้กี่จำนวน

วิธีทำ จากโจทย์ ตรงตามข้อที่ 2

จะได้ว่า จะสร้างตัวเลข 2 หลัก ได้ = P_(5,2) = 5! / (5-2)! = 5! / 3! = 5 . 4 = 20

ดังนั้น จะสร้างตัวเลข 2 หลัก ได้ 20 จำนวน

ตัวอย่างที่ 3 เลือกนักเรียน 3 คน จากนักเรียนทั้งหมด 20 คน มาเป็นหัวหน้าห้อง รองหัวหน้าห้อง และเลขานุการ ได้ทั้งหมดกี่วิธี

วิธีทำ จากโจทย์ ตรงตามข้อที่ 2

จะได้ว่า จะได้วิธีที่เลือก = P_(20,3) = 20! / (20-3)! = 20! / 17! = 20 . 19 . 18 = 6840

ดังนั้น จำนวนวิธีที่เลือก คือ 6840 วิธี

ตัวอย่างที่ 4 จัดเด็ก 1 คน หญิง 3 คน และผู้ชาย 3 คน นั่งรอบโต๊ะกลม โดยที่ผู้ชายไม่นั่งติดกับเด็ก จะจัดได้กี่วิธี

วิธีทำ จากโจทย์ ตรงตามข้อที่ 3.2 ซึ่งผู้ชายไม่นั่งติดกับเด็ก แสดงว่าด้านซ้ายและด้านขวาของเด็กจะต้องถูกประกบด้วยผู้หญิง

ขั้นที่ 1 นำเด็กมาวนเป็นหลักก่อน จะสามารถทำได้ (1-1)! = 0! = 1 วิธี

ขั้นที่ 2 นำผู้หญิงมาประกบด้านซ้ายและด้านขวาของเด็ก จะมำได้ P_(3,2) = 3! / (3-2)! = 3 . 2 = 6 วิธี

ขั้นที่ 3 นำผู้ชาย 3 คน กับผู้หญิง 1 คนที่เหลือ มาจัด จะทำได้ 4! = 4 . 3 . 2 . 1 =24 วิธี

ฉะนั้น จำนวนวิธีที่จัดได้ทั้งหมด คือ 1 . 6 . 24 = 144 วิธี

ดังนั้น จัดได้ทั้งหมด 144 วิธี

2. วิธีการเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมด

จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งซ้ำกันบางส่วน ดังนี้

กลุ่มที่ 1 มีสิ่งของที่มีความซ้ำกันอยู่ n1 สิ่ง

กลุ่มที่ 2 มีสิ่งของที่มีความซ้ำกันอยู่ n2 สิ่ง

กลุ่มที่ 3 มีสิ่งของที่มีความซ้ำกันอยู่ n3 สิ่ง

.

.

.

กลุ่มที่ k มีสิ่งของที่มีความซ้ำกันอยู่ nk สิ่ง

เมื่อ n = n1 + n2 + n3 + … + nk

1) จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของทั้ง n สิ่ง ซึ่งไม่แตกต่างกันทั้งหมดในแนวเส้นตรง คือ

[n! / n1! . n2! . n3! . … . nk!] วิธี

2) จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของทั้ง n สิ่ง ซึ่งไม่แตกต่างกันทั้งหมดในแนวเส้นตรง โดยจัดทีละ r สิ่ง (r)

3) จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของทั้ง n สิ่ง ซึ่งไม่แตกต่างกันทั้งหมดในแนวเส้นตรง โดยที่ ห.ร.ม. ของ n1, n2, n3, … , nk = 1 คือ [(n-1)! / n1! . n2! . n3! . … . nk!] วิธี

ตัวอย่างที่ 1 ต้องการนำตัวอักษรทั้งหมดจากคำว่า “CHAKKARIN” มาจัดเรียงเป็นวงกลม จะทำได้กี่วิธี

วิธีทำ ตรงตามข้อ 3

คำว่า CHAKKARIN มี A 2 ตัว, K 2 ตัว และ C, H, R, I, N อย่างละ 1 ตัว

ห.ร.ม. ของ 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1 คือ 1 ซึ่งใช้สูตรในการหาจำนวนวิธีได้

ดังนั้น วิธีจัดเรียงเป็นวงกลมได้ทั้งหมด 9! / 2! . 2! . 1! . 1! . 1! . 1! . 1!  วิธี

ตัวอย่างที่ 2 จงหาจำนวนวิธีที่จะจัดพนักงาน 6 คน เป็น 3 กลุ่มแบ่งไปทำงาน 3 งานที่แตกต่างกัน โดยจัดกลุ่มละกี่คนก็ได้

วิธีทำ ตรงตามข้อ 1

ลองแจกแจงรูปแบบของการจัดกลุ่มทั้งหมด โดยการแยกเป็นกรณีย่อยตามโจทย์ได้  10 แบบ ดังนี้

123, 132, 213, 231, 312, 321, 114, 141, 411, 222

กรณี 1 พบว่า 6 แบบแรก เป็นการจัดพนักงาน 6 คน เป็น 3 กลุ่ม กลุ่มละ 1, 2 และ 3

แสดงว่า 6 แบบแรกจะมีวิธีการแบ่งเท่ากับ 6! / 1! . 2! . 3! = 60 วิธี

กรณี 2 พบว่า แบบที่ 7-9  เป็นการจัดพนักงาน 6 คน เป็น 3 กลุ่ม กลุ่มละ 1, 1 และ 4

แสดงว่า แบบที่ 7-9  จะมีวิธีการแบ่งเท่ากับ 6! / 1! . 1! . 4! = 30 วิธี

กรณี 3 พบว่า แบบที่ 10  เป็นการจัดพนักงาน 6 คน เป็น 3 กลุ่ม กลุ่มละ 2, 2 และ 2

แสดงว่า แบบที่ 10  จะมีวิธีการแบ่งเท่ากับ 6! / 2! . 2! . 2! = 90 วิธี

ดังนั้น จำนวนวิธีทั้งหมดที่จะจัดพนักงาน 6 คน เป็น 3 กลุ่มเท่ากับ 6(60) + 3(30) + (1)90 = 540  วิธี