คณิตศาสตร์ พื้นฐาน ม 4 เรื่อง เซต

คณิตศาสตร์ พื้นฐาน ม 4 เรื่อง เซต

 เซต

เซต  เป็นคำที่ใช้บ่งบอกถึงกลุ่มของสิ่งต่างๆ และเมื่อกล่าวถึงกลุ่มใดแน่นอนว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่ม สิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่ม เช่น

เซตสระในภาษาอังกฤษ  หมายถึง  กลุ่มของอังกฤษ  a, e, i, o และ u

เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 10 หมายถึง  กลุ่มตัวเลข 1,2,3,4,5,6,7,8,และ9

สิ่งที่ในเชตเรียกว่า  สมาชิก  ( element หรือ members )

การเขียนเซต

การเขียนเซตอาจเขียนได้ 2  แบบ

1 การเขียนซตแบบแจกแจงสมาชิก  เขียนสมาชิกทุกตัวลงในเครื่องหมายวงเล็บปีก กา { }  และใช้เครื่องหมายจุลภาค ( , ) คั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัว  เช่น

  เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า  7  เขียนแทนด้วย  {1,2,3,4,5,6,}

เซตของพยัญชนะไทย  5  ตัวแรก  เขียนแทนด้วย  { ก,ข,ฃ,ค,ฅ }

2.เขียนแบบบอกเงื่อนไข  ใช้ตัวแปรเขียนแทนสมาชิกของเซต  แล้วบรรยายสมบัติของสมาชิกที่อยู่รูปของตัวแปร  เช่น

{x| x เป็นสระในภาษาอังกฤษ } อ่านว่า เซตของ x โดยที่ x เป็นสระในภาษาอังกฤษ

{x| x  เป็นเดือนแรกและเดือนสุดท้ายของปี } อ่านว่า เซตของ xโดยที่ x เป็นเดือนแรกและเดือนสุดท้ายของปี  เครื่องหมาย “ | ”  แทนคำว่า  โดยที่

ในการเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกนั้นจะใช้จุด ( … )  เพื่อแสดงว่ามีสมาชิกอื่นๆ ซึ่งเป็นที่เข้าใจกันทั่วไปว่ามีอะไรบ้างที่อยู่ในเซต  เช่น

{ 1,2,3,…,10 }  สัญลักษณ์ … แสดงว่ามี 4,5,6,7,8 และ9 เป็นสมาชิกของเซต

{ วันจันทร์, อังคาร, พุธ,…, อาทิตย์ } สัญลักษณ์ … แสดงว่ามีวันพฤหัสบดี  วันศุกร์  และวันเสาร์  เป็นสมาชิกของเซต

สัญลักษณ์แทนเซต ในการเขียนเซตโดยที่ทั่วไปจะแทนเซตด้วยอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่  เช่น A,B,C และแทนสมาชิกของเซตด้วยตัวพิมพ์เล็ก เช่น a,b,c เช่น

        A = {1,4,9,16,25,36}  หมายถึง A เป็นเซตของกำลังสองของจำนวนนับหกจำนวนแรก }

สมาชิกของเซต

จะใช้สัญลักษณ์ “  € ”  แทนคำว่าเป็นสมาชิกหรืออยู่ใน  เช่น

Ex1.   A = {1,2,3,4}

จะได้ว่า  1   เป็นสมาชิกของ  A หรืออยู่ใน A เขียนแทนด้วย  1 € A

               3   เป็นสมาชิกของ  A  หรืออยู่ใน A เขียนแทนด้วย  3 € A

คำว่า “ไม่เป็นสมาชิก” หรือ “ไม่อยู่ใน”  เขียนด้วยสํญลักษณ์  “ € ”  เช่น

               5  ไม่เป็นสมาชิกของ A หรือไม่อยู่ใน A เขียนแทน 5 € A

               7  ไม่เป็นสมชิกชอง A หรือไม่อยู่ใน A เขียนแทนด้วย  7 € A

สำหรับเซต A ซึ่งมีสมาชิก 4 ตัว เราจะใช้ n(A) เพื่อบอกจำนวนสมาชิกของเซต A นั่นคือ n(A) = 4

Ex2.   จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก

                    1) เซตของจังหวัดในประเทศไทยที่ลงท้ายด้วยบุรี

                    2) เซตของจำนวนเต็มลบ

                    3) เซตของพยัญชนะในภาษาไทย

วิธีทำ           1. ให้  A เป็นเซตของจังหวัดในประเทศไทยที่ลงท้ายด้วยบุรี

                    A = {  สุพรรณบุรี, ปราจีนบุรี, สิงห์บุรี,…, ลพบุรี }

                    2. ให้ B เป็นเซตของจำนวนต็มลบ

                    B = {-1,-2,-3,…}

                    3. ให้C เป็นเซตของพยัญชนะในภาษาไทย

                    C = {ก,ข,ค,…,ฮ}

Ex3.   จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบบอกเงื่อนไข

                     1) A = {2,4,6,8,10}

                     2) B = {1,3,5,7}

วิธีทำ            1. A = {x| x เป็นจำนวนคู่บวกที่น้อยกว่า 12 }

                     2. B = {x| x เป็นจำนวนคี่บวกที่น้อยกว่า 9 }

เซตจำกัด

เซตจำกัด คือ เซตซึ่งมีจำนวนสมาชิกต็มบวกหรือศูนย์

ตัวอย่างเซตจำกัด ได้แก่

         A = {0,2,4,…,10} , n(A) = 11

         B = {x| x เป็นพยัญชนะในคำว่า “เซตว่าง” }, n( A ) =  4

         C = {1,2,…,8}

เซตอนันต์

เชตอนันต์  คือ เซตที่มีจำนวนมากมาย  นับไม่ถ้วน

ตัวอย่างเซตอนันต์ ได้แก่

         A = {x| x เป็นจำนวนเฉพาะที่มากกว่า 5 }

         B = {x| x 3,7,11,15,…}

         C = {1,2,3,…}

ข้อตกลงเกี่ยวกับเซต

1.            เซตว่างเป็นเซตจำกัด

2.            การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกเขียนสมาชิกแต่ละตัวเพียงครั้งเดียวเท่านั้น

เช่น เซตของเลขโดดที่อยู่ในจำนวน 232 คือ {2,3}

      3.   เซตของจำนวนที่มักจะกล่าวถึงเสมอและใช้กันทั่วไป  มีดังนี้

 

I เป็นเซตของจำนวนเต็ม หรือ I = {…,-2,-1,0,1,2,…}

I เป็นเซตของจำนวนต็มบวก หรือ I = {1,2,3,…}

I เป็นเซตของจำนวนต็มลบ หรือ I = {-1,-2,-3,…}

N เป็นเซตของจำนวนนับ หรือ N = {1, 2, 3,…}

P เป็นเชตของจำนวนเฉพาะ หรื P = { 2, 3 , 5 , 7,…}

เซตที่เท่ากัน

เซต A = B  หมายถึง สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิก ของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A เท่ากับเซต B เขียนแทนด้วย A = B

และเซตA ไม่เท่ากับเซต B หมายความว่า มีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต A ที่ไม่ใช้สมาชิกของเซต B หรือมีสมาชิกอย่างน้อยของเซต B ที่ไม่ใช่สมาชิกของเซต A เขียนแทนด้วย AB

Ex4.    A = {0,1,2 } และ  B = {2,0,1}

           ดั้งนั้น เซต A เท่ากันกับเซต B เขียนแทนด้วย  A = B

Ex5.   กำหนด A= {1,1,2,4,5,6} , B ={2,1,2,4,5,6}, C = {1,2,4,5,5,6,7,8}

           จงหาว่ามีเซตใดบ้างที่เท่ากัน

  วิธีทำ    A = {1,1,2,4,5,6}, B ={2,1,2,4,5,6}

               จะได้  A=B เพราะมีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว

               แต่ AC , BC เพราะว่า7 €A และ 7 € B

อกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe)

เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่กำหนดขอบเขตของสิ่งที่ต้องการศึกษา ซึ่งถือว่าเป็นเซตที่ใหญ่ที่สุด โดยมีข้อตกลงว่า ต่อไปจะกล่าวถึงสมาชิกของเซตนี้เท่านั้น จะไม่มีการกล่าวถึงสิ่งใดที่นอกเหนือไปจากสมาชิกของเซตที่กำหนดขึ้นนี้ โดยทั่วไปนิยมใช้สัญลักษณ์ U แทนเอกภพสัมพัทธ์

เช่น กำหนดให้ U = {1,2,3,4,5,6,7,8}

A = {1,3,5,7}

B = {2,4,8}

หรือกำหนดให้ U = {x ε I+ | 1<x<20}

A = {x ε U | x=n+3 เมื่อ n เป็นจำนสวนเต็มคี่บวก}

B = {x ε U | x=n+3 เมื่อ n เป็นจำนสวนเต็มคู่บวก}

นั่นคือทั้ง A และ B เป็นสับเซตของ U

เซตว่าง (Empty Set)

เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก หรือมีจำนวนสมาชิกในเซตเป็นศูนย์ สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ {} หรือ Ø

ตัวอย่างเช่น

A = {x | x เป็นจำนวนเต็ม และ 1 < x < 2}
∴ A = Ø

B = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวก และ x + 1 = 0 }
∴ B = Ø

เนื่องจากเราสามารถบอกจำนวนสมาชิกของเซตว่างได้ ดังนั้น เซตว่างเป็นเซตจำกัด

.การดำเนินการของเซต

             การดำเนินการของเซต(Operation With set) เป็นการสร้างเซตขึ้นมาใหม่จากการนำเซตที่กำหนดให้ มาดำเนินการตามต้องการ ซึ่งจะมีการดำเนินการหลายแบบ เช่น ยูเนียนของเซต อินเตอร์เซกชันของเซต คอมพลีเมนต์ของเซต และผลต่าง

ยูเนียน(Union)

บทนิยาม
ถ้า A และ B เป็นเซต 2 เซตใด ๆ ยูเนียนของเซต A และเซต B คือ เซตที่มีสมาชิกทั้งหมดที่เป็นสมาชิกของเซต A หรือสมาชิกของเซต B หรือสมาชิกของเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A υ B

นั่นคือ A υ B {x / x ∈ A หรือ x ∈ B หรือ x เป็นสมาชิกทั้งสองเซต}

Ex1. กำหนดเซต A และ B จงหา A υ B
1) กำหนด A = {3, 9}
B = {4, 6, 7}
A υ B = {3, 4, 6, 7, 9}

2) กำหนด A = {6, 7, 8, 9}
B = {5, 7, 9}
A υ B = {5, 6, 7, 8, 9}

3) กำหนดให้ A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {1, 2, 5}
A υ B = {1, 2, 3, 4, 5}

4) กำหนดให้ A = {3, 6, 8}
B = {3, 6, 8}
A υ B = {3, 6, 8}

สมบัติที่สำคัญ เมื่อ A, B และ C เป็นเซตใด ๆ
1. A υ A = A
2. A υ U = U
3. A υ B = B υ A
4. (A υ B) υ C = A υ (B υ C)
5. A υ Ø = Ø υ A = A
6. A ⊂ B ก็ต่อเมื่อ A υ B = B
7. A ⊂ A υ B และ B ⊂ A υ B

อินเตอร์เซกชัน (Intersection)

บทนิยาม
ถ้า A และ B เป็นสองเซตใด ๆ อินเตอร์เซกชันของเซต A และเซต B คือ เซตของสมาชิกที่ซ้ำกันของ A และ เซต B เขียนแทนด้วย A ∩ B

Ex2. กำหนด เซต A และเซต B จงหา A ∩ B
1) กำหนด A = {3, 9}
B = {4, 6, 7}
A ∩ B = {}

2) กำหนด A = {6, 7, 8, 9}
B = {5, 7, 9}
A ∩ B = {7, 9}

สมบัติที่สำคัญ เมื่อ A, B และ C เป็นเซตใด ๆ
1. A ∩ A = A
2. A ∩ U = A
3. A ∩ B = B ∩ A
4. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
5. A ∩ Ø = Ø ∩ A = Ø
6. A ⊂ B ก็ต่อเมื่อ A ∩ B = A
7. A υ (B ∩ C) = (A υ B) ∩ (A υ C)
8. A ∩ (B υ C) = (A ∩ B) υ (A ∩ C)

คอมพลีเมนต์ (Complement)

บทนิยาม
ถ้า A เป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ คอมพลีเมนต์ของ A คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต U แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต A เขียนแทนด้วย A’

Ex3. กำหนด U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A = {3, 5, 9}
A’ = {1, 2, 4, 6, 7, 8}

สมบัติที่สำคัญ
1. Ø’ = U, U’ = Ø’
2. (A’)’ = A
3. (A ∩ B)’ = A’ υ B’
4. (A υ B)’ = A’ ∩ B’
5. A υ A’ = U
6. A ∩ A’ = Ø

ผลต่าง(Differnce)

บทนิยาม

ถ้า A และ B ต่างก็เป็นสับเซตของเซต U ผลต่างของเซต A และ B คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A แต่ไม่เป็นสมาชิกของ B เขียนแทนด้วย A – B

Ex4. กำหนดเซต A และ B จงหา A – B และแรเงาแผนภาพแสดง A – B
กำหนด A = {3, 9}
B = {4, 6, 7}
A – B = {3, 9}

กำหนด A = {6, 7, 8, 9}
B = {5, 7, 9}
A – B = {6, 8}

สับเซตและเพาเวอร์เซต

สับเซตและเพาเวอร์เซต เป็นหัวข้อหนึ่งจากบทเรียนเรื่อง เซต ในวิชาคณิตศาสตร์ ม.4 ซึ่งจะมีนิยาม และสมบัติของมัน เราลองมาเรียนกันครับว่าสับเซตและเพาเวอร์เซตเป็นอย่างไร

สับเซต (Subset)

ถ้าสมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B แล้ว จะเรียกว่า A เป็นสับเซตของ B จะเขียนว่า
เซต A เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A ⊂ B

ถ้าสมาชิกบางตัวของ A ไม่เป็นสมาชิกของ B จะเรียกว่า A ไม่เป็นสับเซตของ B
เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A ⊄ B

สมบัติของสับเซต

1) A ⊂ A (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง)

2) A ⊂ U (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์)

3) ø ⊂ A (เซตว่างเป็นสับเซตของทุกๆ เซต)

4) ถ้า A ⊂ ø แล้ว A = ø

5) ถ้า A ⊂ B และ B ⊂ C แล้ว A ⊂ C (สมบัติการถ่ายทอด)

6) A = B ก็ต่อเมื่อ A ⊂ B และ B ⊂ A

7) ถ้า A มีจำนวนสมาชิก n ตัว สับเซตของเซตจะมีทั้งสิ้น 2n สับเซต

สับเซตแท้

นิยาม A เป็นสับเซตแท้ของ B ก็ต่อเมื่อ A⊂B และ A ≠ B

ตัวอย่าง กำหนดให้ A = { a , b , c } จงหาสับเซตแท้ทั้งหมดของ A

วิธีทำ สับเซตแท้ของ A ได้แก่

ø, {a} , {b} ,{c} , {a,b} , {a ,c} , {b,c}

มีจำนวนสมาชิกทั้งสิ้น 7 สับเซต

หมายเหตุ ถ้า A มีจำนวนสมาชิก n ตัว สับเซตแท้ของเซตA จะมีทั้งสิ้น 2n –1 สับเซต

เราสามารถเขียนความสัมพันธ์ของสับเซตออกมาในรูปของแผนภูมิได้ดังนี้ครับ

จากรูปแสดงได้ว่า A⊂B

เพาเวอร์เซต (Power Set)

คำว่า เพาเวอร์เซต เป็นคำศัพท์เฉพาะ ซึ่งใช้เป็นชื่อเรียกเซตเซตหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับเรื่องสับเซต

เพาเวอร์เซตของ A เขียนแทนด้วย P(A)

P(A) คือเซตที่มีสับเซตทั้งหมดของ A เป็นสมาชิก

สมบัติของเพาเวอร์เซต

ให้ A , B เป็นเซตใดๆ

1) ø ⊂ P(A)

2) A ⊂ P(A)

3) P(A) ≠ ø

4) P(A) ⊂ P(B) ก็ต่อเมื่อ A ⊂ B

5) ถ้า A มีสมาชิก n ตัว P(A) จะมีสมาชิก 2n ตัว