คณิตศาสตร์ ม. 3 ปริมาตรและพื้นที่ผิว

รูปทรง 3 มิตินี้ จะเป็นรูปทรงที่มีด้านกว้าง ด้านยาว และด้านสูง ซึ่งรูปทรง 3 มิตินี้ มีลักษณะที่เพิ่มเติมขึ้นมา คือ ความสูง โจทย์จึงสามารถถามได้ใน 2 ประเด็น คือ

การหาพื้นที่ผิว
การหาปริมาตร

รูปทรงที่เป็นรูปแบบ 3 มิติที่เราจะเรียนกันในที่นี้ประกอบไปด้วย

ปริซึม
ทรงกระบอก
พีระมิด
กรวย
ทรงกลม

ในการหาพื้นที่ผิวและปริมาตร เราควรมีพื้นฐานการหาพื้นที่ในรูปแบบ 2 มิติให้ดีเสียก่อน จึงจะสามารถหาพื้นที่ผิวและปริมาตรได้อย่างชำนาญและพลิกตามรูปทรงได้

การหาพื้นที่ผิว ตามชื่อของมัน คือ การหาพื้นที่รอบนอกที่เป็นผิวของวัตถุ ซึ่งจะประกอบจากรูป 2 มิติ ทำให้การหาพื้นที่ผิวนั้นใช้ความรู้ของการหาพื้นที่มาช่วย

การหาปริมาตร คือ การหาปริมาณของรูปทรง 3 มิติ

สูตรหาปริมาตรทรงกลม

สูตรหาปริมาตรทรงกลม = 4/3 r³

ตัวอย่าง ลูกโลหะทรงกลมตัน มีรัศมียาว 7 เซนติเมตร
นำไปหย่อนลงอ่างน้ำ ซึ่งมีน้ำเต็มอ่างพอดี น้ำที่ล้นออกมาจะมีปริมาตรประมาณเท่าใด

1.29.33 ลูกบาศก์เซนติเมตร
2.205.33 ลูกบาศก์เซนติเมตร
3.205.67 ลูกบาศก์เซนติเมตร
4.1437.33 ลูกบาศก์เซนติเมตร

เฉลย (4) 1437.33 ลูกบาศก์เซนติเมตร

วิธีทำ จากสูตรปริมาตรทรงกลม = 4/3 r³

แทนค่า = 4/3 (7)(7)(7)

สูตรปริมาตรทรงกระบอก

สูตรหาปริมาตรทรงกระบอก = r²h

ตัวอย่าง

โลหะรูปทรงกระบอกมีรัศมี 5 เซนติเมตรสูง 12 เซนติเมตรโลหะชิ้นนี้จะมีปริมาตรเท่าใด

วิธีทำ จากสูตรปริมาตรทรงกระบอก = r²h
และจะต้องมีปริมาตรทรงกระบอก = (5)(5)(12)
= 300 ลูกบาศก์เซนติเมตร

สูตรปริมาตรกรวย

สูตรหาปริมาตรกรวย = ⅓ r²h

ตัวอย่าง

กรวยตรงรูปหนึ่งมีรัศมี 10 เซนติเมตรสูง
15 เซนติเมตรไปมากกว่านี้จะเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ จากสูตรปริมาตรกรวย = ⅓ r²h
จะได้เท่ากับ = ⅓ (10)(10)(15)
= 50 ลูกบาศก์เซนติเมตร

สูตรหาปริมาตรลูกบาศก์

สูตรหาปริมาตร สี่เหลี่ยมด้านเท่า = ด้าน x ด้าน x ด้า

ตัวอย่าง

ลูกเต๋าลูกหนึ่งมีด้านกว้าง 5 เซนติเมตร
จงหาว่ามีปริมาตรเท่าใด

วิธีทำ จากสูตรปริมาตรลูกบาศก์ = ด้าน x ด้าน x ด้าน
จะได้ = 5 x 5 x 5 = 125 ลูกบาศก์เซนติเมตร

สูตรปริมาตรทรงพีระมิด

สูตรหาปริมาตรพีระมิด = ⅓ x พื้นที่ฐาน x สูง (ตรง)

ตัวอย่าง

พีระมิดรูปหนึ่งมีฐานยาว 10 เซนติเมตร กว้าง 15 เซนติเมตร
มีความสูง 20 เซนติเมตรถามว่าปริมาตรของพีระมิดรูปนี้เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ จากสูตรปริมาตรของพีระมิด = ⅓ x พื้นที่ฐาน x สูง (ตรง)
จะได้ = ⅓ x 10 x 15 x 20 = 1000 ลูกบาศก์เซนติเมตร

สูตรปริมาตรปริซึม

สูตรหาปริมาตรปริซึม = กว้าง x ยาว x สูง

ตัวอย่าง

ปริซึมสามเหลี่ยมสูง 8 เซนติเมตรด้านฐานยาว 3 4 5 เซนติเมตรตามลำดับพื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึมเป็นเท่าใด

วิธีทำ จากสูตรปริมาตรปริซึม = กว้าง x ยาว x สูง
จะได้ = 3 x 4 x 8 = 96 ลูกบาศก์เซนติเมตร

สูตรพื้นที่ผิวทรงกลม

สูตรหาพื้นที่ผิวทั้งหมดทรงกลม = 4r²

ตัวอย่าง

ทรงกลมทรงหนึ่งมีรัศมี 10 เซนติเมตรจงหาว่าพื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกลมเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ
จากสูตรพื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกลม = 4r²
จะได้ = 4(10)(10) = 400 ลูกบาศก์เซนติเมตร
( รอใส่พายอาร์ )

สูตรพื้นที่ผิวทรงกระบอก

สูตรหาพื้นที่ผิวของทรงกระบอก
= พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ฐานสองด้าน
= 2rh + 2r²

ตัวอย่าง

ทรงกระบอกทรง 1 มีรัศมีเท่ากับ 10 เซนติเมตรสูง 20 เซนติเมตรถามว่าพื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกระบอกเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ จากสูตรพื้นที่ผิวของทรงกระบอก
= พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ฐาน 2 ด้าน
จะได้ = 2rh + 2r²
แทนค่า = 2(10)(20) + 2(10)(10)
= 400 + 200 = 600
( รอใส่พายอาร์ )

สูตรพื้นที่ผิวทรงกรวย

สูตรหาพื้นที่ผิวกรวย = rl + r²

ตัวอย่าง

ทรงกรวยรูปหนึ่งมีความสูงอยู่ 10 cm มีรัศมี
08 cm ถามว่าพื้นที่ผิวกรวยรูปนี้มีค่าเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ จากสูตรพื้นที่ผิวกรวย = rl + r²
แทนค่า จะได้ = (18)(10) + (18)(18)
= 180 + 324 = 504
( รอใส่พายอาร์ )

สูตรพื้นที่ผิวทรงลูกบาศก์

สูตรพื้นที่ผิวลูกบาศก์ = 6 x (ด้าน x ด้าน)

ตัวอย่าง

กล่องของขวัญทรงลูกบาศก์กล่องหนึ่งมีความยาวด้านอยู่ที่ 15 เซนติเมตรถามว่าต้องใช้กระดาษห่อของขวัญที่มีพื้นที่ผิวลูกบาศก์เท่ากับเท่าใดจึงจะสามารถห่อของขวัญนี้ได้มิด

วิธีทำ
จากสูตรพื้นที่ผิวลูกบาศก์ = 6 x (ด้าน x ด้าน) = 6 x 15 x 15 =1350 ตารางเซนติเมตร

สูตรพื้นที่ผิวทรงพีระมิด

สูตรหาพื้นที่ผิวพีระมิด = พื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ฐานสามเหลี่ยม

พื้นที่ผิวข้าง (หาได้ 2 วิธี)

1. จากสูตร พื้นที่ผิวข้าง = ½ x ความยาวรอบรูปของฐาน x สูง(เอียง)

2.หาพื้นที่ผิว 1 หน้า (คือพื้นที่ของสามเหลี่ยม)
คูณพื้นที่ผิว 1 หน้า ด้วย จำนวนหน้า

ตัวอย่าง

จงหาพื้นผิวข้างของพีระมิดห้าเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าฐานยาวด้านละ 10 เซนติเมตรและส่วนสูงเอียงยาว
6 เซนติเมตร

วิธีทำ
จากสูตรพื้นผิวข้างของพีระมิดห้าเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า = 1/2 x ความยาวของฐาน x สูงเอียง

จะได้ = 1/2 x (5×10) x 6
= 150 ตารางเซนติเมตร

สูตรพื้นที่ผิวทรงปริซึม

สูตรหาพื้นที่ผิวปริซึม = พื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ฐานทั้งสอง

พื้นที่ผิวข้าง = ความยาวรอบรูปของฐาน x สูง(ตรง)

ตัวอย่าง

ขนมกาละแมก้อนหนึ่งมีลักษณะเป็นปริซึมฐานสามเหลี่ยมหน้าจั่วด้านหนึ่งยาว 13 เซนติเมตรอีกด้านยาว 10 เซนติเมตรความสูงอยู่ที่ 100 cm ดังต่อไปนี้จะต้องใช้กระดาษห่อขนมกาละแมชิ้นนี้โดยใช้พื้นที่อย่างน้อยเท่าใด

วิธีทำ จากสูตร พื้นที่ผิวปริซึม = พื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ฐานทั้งสอง
พื้นที่ผิวข้าง = ความยาวรอบรูปของฐาน x สูง(ตรง)
ขั้นตอนที่ 1 หาความสูงกำหนดให้ H เท่ากับความสูงของสามเหลี่ยม

ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได้ 13² = 5² + h²
169 = 25 + h²
h² = 144
h = 12

หาพื้นที่ผิว พื้นที่ฐาน (รูปสามเหลี่ยมมี 2 รูป)
= 2 x (½ x ฐาน x สูง)
= 2 x ½ x 10 x 12
= 2 x 60 = 120 ลูกบาศก์เซนติเมตร
พื้นที่ด้านข้าง (รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามี 3 รูปต่างขนาดกัน)

= (10×100) + (13 x 100) + (13 x 100)
= 1000 + 1300 + 1300 = 3600 ตารางเซนติเมตร