คณิตศาสตร์ ม.3 ลำดับและอนุกรม

คณิตศาสตร์ ม.3 ลำดับและอนุกรม

ลำดับและอนุกรม ของเลขคณิตกับเลขาคณิต และตัวอย่างประกอบ

ลำดับ (Sequences)

หมายถึง จำนวนหรือพจน์ที่เขียนเรียงกันภายใต้กฎเกณฑ์อย่างใดอย่างหนึ่งลำดับทั่วๆ ไปแบ่งเป็น 2 ชนิดคือ
– ลำดับจำกัด คือลำดับซึ่งมีจำนวนพจน์จำกัด เช่น 1,2,3,4,…,300
– ลำดับอนันต์ คือลำดับซึ่งมีจำนวนพจน์ไม่จำกัด เช่น 1,2,3,4,5,6…

มาดูสูตรกันก่อนดีกว่าครับ

ชนิดของลำดับ

1. ลำดับเลขคณิต

ลำดับเลขคณิต เป็นลำดับซึ่งมีผลต่างระหว่างพจน์ที่ n + 1 กับ พจที่ n มีค่าคงตัว ซึ่งค่าคงตัวนี้ เรียกว่า “ผลต่างรวม” เขียนแทนด้วย d

ให้ a₁,a₂,a₃ , . . . เป็นลำดับเลขคณิต ผลต่างระหว่างพจน์ที่ n + 1 กับพจน์ที่ n ค่า d (d =a₂ − a₁) ดังนั้น

a_n = a₁ + (n – 1)*d

ตัวอย่างการหาพจน์ที่ n ของลำดับเลขคณิต

จงหาพจน์ที่ 15 ของลำดับ -5 , -1, 3, 7, 11,…

2. ลำดับอื่น ๆ

2.1 ลำดับหลายชั้น

ลำดับหลายชั้น เป็นลำดับเลขอนุกรม มีค่าความแตกต่างระหว่างตัวเลขมีลักษณะเป็นเลขอนุกรมด้วย เช่น

2.2 ลำดับเว้นระยะ

ลำดับเว้นระยะ เป็นลำดับเลขอนุกรม ซึ่งประกอบด้วยอนุกรมมากกว่า 1 ซ้อนกันอยู่ภายในโจทย์เดียวกัน เช่น

2.3 ลำดับแบบมีค่าแตกต่างเป็นชุด

ลำดับแบบมีค่าแตกต่างเป็นชุด เป็นลำดับอนุกรมที่เกิดจากค่าความแตกต่างที่เป็นชุด คือหลายตัวประกอบขึ้นมาและใช้ค่าแตกต่างที่เป็นชุดดังกล่าวในการพิจารณาเลขอนุกรมลำดับถัดไป เช่น

2.4 ลำดับยกกำลัง

ลำดับยกกำลัง เป็นลำดับเลขอนุกรม ซึ่งเกิดจากการยกกำลังของตัวเลขต่าง ๆ หรืออาจเกิดจากค่าความแตกต่างที่อาจเป็นเลขยกกำลัง เช่น

แบบฝึกทักษะเรื่อง ลำดับ

1. จงหาพจน์ที่ 20 ของลำดับ -13, -9, -5, -1, 3, …
2. ลำดับเลขคณิตลำดับหนึ่ง มีพจน์ที่ 10 เป็น -28 และพจน์ที่ 12 เป็น -50 จงหาผลบวกของพจน์ที่ 5 กับพจน์ที่ 6

อนุกรม คือ ผลบวก ของลำดับ เช่น a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …

อนุกรมเลขคณิต( Arithmetic Series )

ให้ s_n เป็นผลบวก n พจน์แรกของลำดับเลขคณิต ดังนั้น s_n = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n

สูตรผลบวก n พจน์แรกของลำดับเลขคณิต

ลำดับยกกำลัง เป็นลำดับเลขอนุกรม ซึ่งเกิดจากการยกกำลังของตัวเลขต่าง ๆ หรืออาจเกิดจากค่าความแตกต่างที่อาจเป็นเลขยกกำลัง

อนุกรม คือ ผลจากการบวกสมาชิกทุกตัวของลำดับไม่จำกัดเข้าด้วยกัน โดยที่

• ถ้า  a1,   a2,   a3,   …,   an   เป็น ลำดับจำกัด ที่มี n พจน์ เราจะเรียกการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับในรูป a1  +  a2  +  a3 +  …  +  an  ว่า  อนุกรมจำกัด
• และ ถ้า a1, a2, a3, …, an, … เป็น ลำดับอนันต์ จะเรียกการเขียนแสดงผลบวกในรูป a1 + a2 + a3 + … + an + … ว่า อนุกรมอนันต์

จากอนุกรม a1 + a2 + a3 + … + an + … โดยทั่วไปจะเรียก

• a1 ว่าพจน์ที่ 1 ของอนุกรม
• a2 ว่าพจน์ที่ 2 ของอนุกรม
• a3 ว่าพจน์ที่ 3 ของอนุกรม
• an ว่าพจน์ที่ n ของอนุกรม

อนุกรมเลขคณิต คือ ผลบวกของลําดับเลขคณิต อธิบายได้ว่า

เมื่อ a1, a1 + d, a1 + 2d, …, a1 + (n – 1)d เป็นลำดับเลขคณิต

จะได้ a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + … + (a1 + (n – 1)d) เป็นอนุกรมเลขคณิต

ซึ่งมี a 1 เป็นพจน์แรกของอนุกรม และ d เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิต ซึ่งจากบทนิยามจะได้ว่า

ถ้า a1, a2, a3, …, an เป็น ลำดับเลขคณิต ที่มี n พจน์ เราจะเรียกการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับ a1 + a2 + a3 + … + an ว่า อนุกรมเลขคณิต และผลต่างร่วม ( d ) ของลำดับเลขคณิต เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิตด้วย